Halle las raíces $r_1$, $r_2$, $r_3$ y $r_4$ de la ecuación:$$4x^4-ax^3+bx^2-cx+5=0.$$Sabiendo que son reales, positivos y que:$$\frac{r_1}{2}+\frac{r_2}{4}+\frac{r_3}{5}+\frac{r_4}{8}=1.$$
Por Vieta (o expandiendo el polinomio $(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)(x-r_4)$), tenemos que$$r_1r_2r_3r_4=\frac{5}{4}.$$Sabemos también que$$\frac{r_1}{2}+\frac{r_2}{4}+\frac{r_3}{5}+\frac{r_4}{8}=1.$$Queremos relacionar la suma y el producto de reales positivos, la idea clásica es AM-GM, como no podemos modificar las expresiones que tenemos para hallar $r_1+r_2+r_3+r_4$, vamos a modificarlas para hallar el producto con los mismos elementos que la suma, notemos que$$\frac{r_1}{2}\frac{r_2}{4}\frac{r_3}{5}\frac{r_4}{8}=\frac{r_1r_2r_3r_4}{2\cdot 4\cdot 5\cdot 8}=\frac{5}{4\cdot 2\cdot 4\cdot 5\cdot 8}=\frac{1}{256},$$entonces por AM-GM tenemos que$$\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\left (\frac{r_1}{2}+\frac{r_2}{4}+\frac{r_3}{5}+\frac{r_4}{8}\right )\geq \sqrt[4]{\frac{r_1}{2}\frac{r_2}{4}\frac{r_3}{5}\frac{r_4}{8}}=\sqrt[4]{\frac{1}{256}}=\frac{1}{4}.$$Se debe dar la igualdad en AM-GM, por lo tanto $\frac{r_1}{2}=\frac{r_2}{4}=\frac{r_3}{5}=\frac{r_4}{8}=\frac{1}{4}$ (ya que su suma es $1$). Finalmente $r_1=\frac{1}{2}$, $r_2=1$, $r_3=\frac{5}{4}$ y $r_4=2$. Y con eso estamos.
