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joa.fernandez

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Iberoamericana 1985 P6

Mensaje sin leer por joa.fernandez » Mié 20 May, 2020 9:50 pm

Dado un triángulo $ABC$, se consideran los puntos $D$, $E$ y $F$ de las rectas $BC$, $AC$ y $AB$ respectivamente. Si las rectas $AD$, $BE$ y $CF$ pasan todas por el centro $O$ de la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$, cuyo radio es $R$, demuestre que:$$\frac{1}{AD}+\frac{1}{BE}+\frac{1}{CF}=\frac{2}{R}$$

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Gianni De Rico

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Re: Iberoamericana 1985 P6

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Jue 21 May, 2020 12:12 pm

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Sea $[\mathcal{F}]$ el área de la figura $\mathcal{F}$, notemos que $\frac{AO}{AD}=\frac{[ABO]}{[ABD]}$ y $\frac{AO}{AD}=\frac{[ACO]}{[ACD]}$, entonces$$\frac{AO}{AD}=\frac{[ABO]+[ACO]}{[ABD]+[ACD]}=\frac{[ABOC]}{[ABC]}$$análogamente$$\frac{BO}{BE}=\frac{[ABCO]}{[ABC]} \\ \frac{CO}{CF}=\frac{[AOBC]}{[ABC]}$$Luego$$\begin{align*}R\left (\frac{1}{AD}+\frac{1}{BE}+\frac{1}{CF}\right ) & =\frac{R}{AD}+\frac{R}{BE}+\frac{R}{CF} \\
& =\frac{AO}{AD}+\frac{BO}{BE}+\frac{CO}{CF} \\
& =\frac{[ABOC]}{[ABC]}+\frac{[ABCO]}{[ABC]}+\frac{[AOBC]}{[ABC]} \\
& =\frac{[ABO]+[AOC]}{[ABC]}+\frac{[ABO]+[BCO]}{[ABC]}+\frac{[AOC]+[BCO]}{[ABC]} \\
& =\frac{[ABO]+[AOC]+[ABO]+[BCO]+[AOC]+[BCO]}{[ABC]} \\
& =\frac{2[ABC]}{[ABC]} \\
& =2
\end{align*}$$de donde$$\frac{1}{AD}+\frac{1}{BE}+\frac{1}{CF}=\frac{2}{R}$$
1  
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Fran5

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Re: Iberoamericana 1985 P6

Mensaje sin leer por Fran5 » Jue 21 May, 2020 2:02 pm

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Por el Segundo Lema de Shmerkin

$\frac{R}{AD} = \frac{EP}{EB} + \frac{FP}{FC}$

Sumando para $A,B,C$, sacando factor común $R$, y usando el Tercer Lema de Shmerkin

$R \left( \frac{1}{AD}+\frac{1}{BE} + \frac{1}{CF} \right) = 2$
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"Al toque Roque // Al pique Quique // Tranca palanca // No pasa nada // Argentina Gana // La tenés adentro // Costa Rica te entro"

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