Se tienen $400$ bolillas con los números del $1$ al $400$, sin repeticiones. Se colocan las bolillas en dos cajas, $A$ y $B$, con la siguiente condición: si se multiplican los números de todas las bolillas de la caja $A$, el resultado no sea múltiplo de $6$. Determinar la mayor cantidad de bolillas que se puede colocar en la caja $A$.
Lo que se busca es deshacerte de la menor cantidad de números entre el 1 y el 400 de forma que el producto de lo que resta no sea múltiplo de 6.
Sabiendo esto resulta obligatorio deshacerte al menos de todos los números múltiplos de 3 o de todos los múltiplos de 2, ya que de esta forma no habrá forma de que algún producto pueda dar múltiplo de 6.
Entonces, elegimos deshacernos de los múltiplos de 3 ya que su distribución entre los números naturales los hace más "raros" o "difíciles" de encontrar.
Para saber cuántos de estos números hay entre el 1 y el 400 notamos que el último múltiplo de 3 antes del 400 es el
399 = 3 • 133, y el primero es el 3 = 3 • 1, y notamos que hay 133 múltiplos de 3.
Por lo que el resultado final será 400 - 133 = 267
Si clasificamos a los numeros en $4$ grupos mutuamente excluyentes:
$A)$ Multiplos de $6$: son todos los de la forma $6k$ desde $k=1$ hasta $k=66$. Son $66$ numeros.
$B)$ Multiplos de $2$ pero no de $6$: de los $200$ pares son todos los que no son multiplos de $6$. En total $200-66=134$ numeros
$C)$ Multiplos de $3$ pero no de $6$: son todos de la forma $3(2k-1)$ desde $k=1$ hasta $k=67$. Son $67$ numeros.
$D)$ Ni multiplos de $2$ ni de $3$: de los $200$ impares son todos los que no son multiplos de $3$. En total $200-67=133$ numeros
Luego, del grupo $D$ puedo meter todos los numeros en la caja ya que su multiplicacion no agregaria ningun factor $2$ o $3$ al producto final; por lo mismo no puedo meter ningun numero del grupo $A$. Y del grupo $B$ o del $C$ solo puedo meter exclusivamente todos los numeros pertenecientes a un grupo ya que si agrego por lo menos un numero de cada uno el producto final ya daria un multiplo de $6$: meto entonces los numeros del grupo $B$ ya que son mas que los del $C$
Entonces el maximo de numeros es meter todos los del grupo $B$ y todos los del $D$. En total $134+133=267$ numeros.
Como la multiplicación de los elementos de A no puede ser múltiplo de 6, los múltiplos de 2 y 3 no pueden estar en la misma caja.
También queremos que la mayor cantidad de bolillas este en la caja A, entonces como hay más múltiplos de 2 que de 3, poner todos los números que no sean múltiplos de 3 en la caja A.
Para calcular cuantos múltiplos de 3 hay desde el 1 al 400 hacemos la siguiente cuenta:
400/3≅133 // Redondeamos hacia abajo.
A = 400 - 133 ⇒ A = 267
Primero de todo analizamos que no puede haber ningún múltiplo de $6$ en $A$ ya que $0\times n \equiv 0\mod 6$. Como $400\equiv 4 \mod 6$ entonces hay $\frac{400-4}{6}=66$ múltiplos de $6$ entre $1$ y $400$ lo que nos deja la cota en $400-66=334$.
Tampoco pueden haber un $M_3$ y un $M_2$ a la vez por la factorización del $6$. Como los restos en la división por $6$ que nos quedan son $1,2,3,4,5$ hay más $M_2$ entonces al sacar todos los $M_3$ nos quedan más números en $A$. Viendo que $400\equiv 4 \mod 6$ nos quedan $\frac{400-4}{2}+1=67$ múltiplos de $3$ o $2\times (\frac{400-4}{2}+1)=134$ y así vemos definitivamente que sacamos todos los $M_3$. La cota nos queda en $334-67=267$
Entonces nos quedan todos los números con restos $1,2,4,5$ en la división por $6$. Vemos que $1\times 2\times 4 \times 5 \equiv 4 \mod 6$ entonces ya estaríamos. Entonces nos queda en $267$. Vemos que si queremos que sea $268$ o más debería haber o un $M_3$ o $M_6$ y ya vimos que pasaría entonces queda en $267$
