FOFO 11 Años - Problema 6

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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¿hola?

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FOFO 11 Años - Problema 6

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Probar que existe un único par de enteros positivos $(a,n)$ tales que$$a^{n+1}-(a+1)^n=2001.$$
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Re: FOFO 11 Años - Problema 6

Mensaje sin leer por ¿hola? »

Aquí publicaremos la solución oficial.
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Turko Arias

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Re: FOFO 11 Años - Problema 6

Mensaje sin leer por Turko Arias »

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Tenemos $a^{n+1}-(a+1)^n-2001=0$, que viéndolo como un polinomio en $a$ y aplicando el Teorema de Gauss llegamos a que si tiene alguna raíz entera, tiene que ser divisora del término independiente, que es $-2002$.
Si $a \equiv 2, 0(3)$ entonces $a^{n+1}-(a+1)^n \not\equiv 2001(3)$, luego $a \equiv 1(3)$. Si $n$ es impar, $(a+1)^n \equiv 2(3)$ lo que vuelve imposible que la expresión sea múltiplo de tres, luego $n$ es par.
Si $a \equiv 0, 2(4)$ entonces $2001=a^{n+1}-(a+1)^n \equiv 0 - 1 \equiv 3(4)$ absurdo, luego, $a \mid 1001$. Notemos ahora que si $a=11 \times 7^x \times 13^y$ entonces $a \equiv 2(3)$, por lo que $a \mid 91$. Como $a \equiv 1(4)$ tenemos que los únicos divisores que pueden ser candidatos son $a=1$ o bien $a=13$. El caso $a=1$ se descarta al notar que el lado izquierdo resultaría negativo.
Si $n=2k$ y $k>1$ entonces $13^{n+1}-14^n \equiv 5-0(8)$, pero $2001 \equiv 1(8)$ absurdo.
Por último, es fácil notar que el par $(a,n)=(13,2)$ funciona y estamos $\blacksquare$
Fundamentalista del Aire Acondicionado

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