FOFO 11 Años - Problema 3

[Turko Arias]

En un cuadrado $ABCD$, se marcan dos puntos $E$ y $F$ en los segmentos $AB$ y $BC$, respectivamente, de manera tal que $BE=BF$. Sea $H$ el pie de la altura del triángulo $BEC$ que pasa por $B$. Hallar la medida del ángulo $D\widehat HF$.

[Turko Arias]

Aquí publicaremos la solución oficial.

[FabriATK]

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Sea $P$, la intersección entre las rectas AD y BH
$\angle BCE = a \Rightarrow \angle CEB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - a = 90^{\circ} - a$
$\angle EBH = 180^{\circ} -90^{\circ} - (90^{\circ} - a) = a$
$\angle BPA = 180^{\circ} - 90^{\circ} - a = 90^{\circ} - a$ y por criterio AAA, ABP es semejante a EBC y como AB = BC:
ABP es congruente a EBC $\Rightarrow$ AP = EB = BF.
$\angle PHC = \angle CDP = 90^{\circ} \Rightarrow$ PHCD es cíclico.
$FC = BD - BF = AD - AP = PD$ y por LAL, PCD es congruente a FCD y $\angle DPC = \angle DFC \Rightarrow$ PHFCD es cíclico y $\angle CDF = \angle PCD$. Entonces: $\angle CHF = \angle CDF = \angle PCD = \angle PHD$
$\angle CHF = \angle PHD$

$90^{\circ} = \angle PHC = \angle PHD + \angle DHC = \angle DHC + \angle CHF = \angle DHF$
$\angle DHF = 90^{\circ}$