Se tienen $11$ pesas en un circulo, todas de pesos diferentes. Gianni escribe entre cada par de ellas la diferencia de sus pesos, el mayor menos el menor. Mostrar que Gianni siempre puede dividir los $11$ números que escribió en $2$ grupos de igual suma.
"Al toque Roque // Al pique Quique // Tranca palanca // No pasa nada // Argentina Gana // La tenés adentro //
Sean $n\geq 2$ números distintos $x_1,\ldots ,x_n$ ordenados en un arreglo circular vamos a demostrar que lo que pide el enunciado puede conseguirse mediante el siguiente algoritmo:
- Si en un paso existe un $1\leq i\leq n$ tal que $x_{i-1}<x_i<x_{i+1}$ o $x_{i-1}>x_i>x_{i+1}$ las "fusionamos" borrando a $x_i$ del arreglo y dejando una diferencia final de valor $|x_{i+1}-x_i|+|x_i-x_{i-1}|=|x_{i+1}-x_{i-1}|$.
- Repetimos esta operación hasta que no puedan aplicarse mas, notemos que en este punto cada $x_i$ es menor a sus $2$ vecinos o mayor a sus $2$ vecinos (eventualmente no se pueden aplicar mas operaciones ya que para $n=2$ se da tal cosa). Bajo esta premisa notemos también que la cantidad de elementos ($j$) es par ya que si fuera impar WLOG $x_1<x_2$ (el otro caso es análogo) luego $x_1<x_2>x_3<x_4<\ldots >x_j<x_1>x_2$. Absurdo! En ese caso cada término menor a sus $2$ vecinos aparece como $-x_i$ en ambas diferencias y como $+x_i$ si es mayor a ambos vecinos. Ahora pintamos las diferencias de blanco y negro alternadamente (que se sostiene ya que $j$ es par) y metemos en un mismo grupo a las del mismo color. De esta forma cada grupo tiene la misma suma ya que en cada uno aparece cada $\pm x_i$ exactamente $1$ vez. Teniendo así la división pedida para $n=11$.
