El Mono escribió una lista de $2021$ números:$$1,11,111,1111,11111,\ldots .$$Cada número de la lista tiene un dígito $1$ más que el anterior. El último número de la lista es el número formado por $2021$ dígitos $1$.
Calcular cuántos de los números de la lista del Mono son múltiplos de $303$.
Como $303$ se factoriza en primos como $3\cdot 101$, probar que cierto número es múltiplo de $303$ es equivalente a probar que es múltiplo de $3$ y de $101$ simultáneamente.
Veamos primero qué números de la lista son múltiplos de $3$.
Recordemos que un número es múltiplo de $3$ si y sólo si la suma de sus dígitos es múltiplo de $3$. Como los números de la lista están formados únicamente por $1$s, sabemos que la suma de dígitos de cada uno de estos números coincide con la cantidad de dígitos del número, es decir, $\underbrace{11...11}_{n}$ tiene suma de dígitos $n$. Por lo tanto, $\underbrace{11...11}_{n}$ es múltiplo de $3$ si y sólo si $n$ es múltiplo de $3$.
Veamos ahora qué números de la lista son múltiplos de $101$.
Como no hay un criterio tan sencillo en este caso, simplemente miraremos módulo $101$. Analicemos qué pasa en los primeros casos:
El primero de los números de la lista que es múltiplo de $101$ es el $1111$. Notemos cada número de la lista se puede pensar en función del anterior de la siguiente manera
Entonces, si seguimos mirando módulo $101$, podemos notar que los restos de los números de la lista $\pmod{101}$ se repiten, basta usar la relación anterior para calcular los restos de algunos números más de la lista:
Por lo tanto, $\underbrace{11...11}_{n}$ es múltiplo de $101$ si y sólo si $n$ es múltiplo de $4$.
Juntando ambos casos podemos concluir que $\underbrace{11...11}_{n}$ es múltiplo de $303$ si y sólo si $n$ es múltiplo de $3$ y de $4$, es decir, si $n$ es múltiplo de $12$. Para dar la respuesta final al problema entonces, debemos ver cuántos múltiplos de $12$ menores que $2021$ hay, y esta cantidad es $\big\lfloor \frac{2021}{12} \big\rfloor = 168$. Concluimos, de esta forma, que la respuesta al problema es $168$.
Sabemos que $303=3\times 101$. Para que un número formado por $n$ dígitos $1$ sea múltiplo de $101$, debe cumplirse que $4\mid n$; y para que sea múltiplo de $3$, debe cumplirse que $3\mid n$, en consecuencia, $12\mid n$. Luego, el problema se reduce a determinar cuántos números entre $1$ y $2021$ son múltiplos de $12$, que son $168$.
