OFO 2024 Problema 4

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OFO 2024 Problema 4

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Martu tiene una calculadora con una pantalla y un único botón. Al principio, la pantalla muestra el número $1$.
Al apretar el botón, el número de la pantalla se reemplaza por la suma entre ese número y el dígito de sus unidades. Por ejemplo, luego de apretar el botón varias veces, la pantalla mostrará sucesivamente$$1\to 2\to 4\to 8\to 16\to 22\to 24\to\cdots$$
  1. Determinar qué número mostrará la pantalla si Martu presiona el botón $2024$ veces.
  2. Determinar cuántos de los números mostrados por la pantalla fueron múltiplos de $3$.
  3. Demostrar que, sin importar cuántas veces Martu presione el botón, seguirán apareciendo múltiplos de $3$ en la pantalla.
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1000i

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Re: OFO 2024 Problema 4

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Solución oficial:

Ideas para empezar el problema.
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Para comenzar veremos qué es lo que hace la calculadora. Su operación siempre es sumar el último dígito del número anterior, así que podemos hacer una lista con los dígitos que suma en los primeros movimientos:
$1, 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8$
Al hacer esto podemos notar que, después del primer movimiento, parece haber como un ciclo en el dígito que se está sumando, pero, ¿será cierto que esto es así siempre? ¿Existe alguna forma de saberlo sin escribir todos los pasos? Para responder estas preguntas haremos lo siguiente:
Sea n el número que aparece en la calculadora, y supongamos que su dígito de las unidades es $2$, lo que se puede escribir como $ n\equiv2 \;(\text{mod}\;10)$.

Al apretar el botón se sumará $2$, y aparecerá el número $n + 2$ en la pantalla, el cual podemos notar que es $ n + 2 \equiv 2 + 2 \equiv 4 \;(\text{mod}\;10)$.

Al volver a apretar el botón se sumará $4$, y aparecerá en la pantalla $n+2+4$, que es de la forma: $ n+2+4\equiv 2+2+4 \equiv 8 \;(\text{mod}\;10)$.

Al volver a realizar la operación se sumará $8$, así que aparecerá en la pantalla $n + 2 + 4 + 8$ que será de la forma $ n+2+4+8\equiv 2+2+4+8 \equiv 16 \equiv 6 \;(\text{mod}\;10)$

Al volver a apretar el botón se sumará $6$ y se obtendrá el número $n+2+4+8+6$ que cumple $ n+2+4+8+6\equiv 2+2+4+8+6 \equiv 22 \equiv 2 \;(\text{mod}\;10)$

Así que volvimos a donde comenzamos, un número que tiene como dígito de las unidades al 2, y así demostramos que después del primer movimiento se sumarán $2, 4, 8, 6, 2, 4….$ en ciclo infinitamente.
Pero además, podemos notar algo más, durante este ciclo, los números que aparecieron en la pantalla son:
$n$ , $n+2$ , $n+6$ , $n+14$ y $n+20$, de donde obtenemos que en cada ciclo de $4$ movidas, se le suma $20$ al número previo a ese ciclo.

Veremos que esto es más que suficiente para resolver lo que el problema nos pide.
Primer inciso.
Spoiler: mostrar
- En primer lugar tenemos que si luego de apretar 1 vez el botón aparece el número $2$, luego de $5$ veces aparecerá el $22$, y luego de $9$ veces aparecerá el $42$, gracias al ciclo de $4$ que demostramos antes, por lo que al apretar $2021$ veces el botón, habremos llegado al $2$ en un movimiento, y luego habremos realizado $2020/4 = 505$ ciclos de $4$, por lo que obtendremos el números $2 + 20 \times 505 = 10102$. Solo nos quedan $3$ movimientos que podemos hacer a mano, pero como $10102\equiv 2 \;(\text{mod}\;10)$ podemos reemplazarlo por $n$ y vimos que después de $3$ movimiento aparece $n+14$, por lo que después de que Martu apretó $2024$ veces el botón, apareció el número $10102+14=10116$.
Segundo inciso.
Spoiler: mostrar
- Luego el problema nos pide determinar cuántos números que aparecen en la pantalla son múltiplos de $3$, para esto podemos utilizar el hecho de que si cada $4$ apretadas se suma $20$, entonces cada $3$, se suma un múltiplo de $3$, $60$, y de acá sabemos que si el número $a$ es múltiplo de $3$ y aparece en la pantalla, entonces luego de $4\times3=12$ movimientos aparecerá $a+60\equiv a \equiv 0 \;(\text{mod}\;3)$. Entonces ahora podemos analizar el primer ciclo de $12$ números (al que llamaremos tri-ciclo) para ver sus restos en la división por $3$ y así poder replicarlo hasta el paso $2024$:
$2,4,8,16,22,24,28,36,42,44,48,56$ , y concluimos que en cada triciclo hay $4$ múltiplos de $3$.
Como el $1$ no es múltiplo de $3$, y el ciclo comienza después de apretar por primera vez el botón, podemos cambiar la pregunta a qué pasa si arranca con el número $2$ y toca $2023$ veces el botón, cuántos de los $2024$ números que aparecen son múltiplos de $3$.
Como cada triciclo tiene longitud $12$, sabemos que en $2024$ números hay $168$ triciclos completos, y luego solo aparecen los primeros $8$ restos del triciclo, entre los cuales solo aparecen $2$ múltiplos de $3$, por lo que en total aparecieron $4\times168 + 2 = 674$ múltiplos de $3$ en la pantalla.
Tercer inciso.
Spoiler: mostrar
- Para la última parte vamos a usar la idea de la anterior, en la cual al apretar $12$ veces el botón sumamos $60$. Sabemos que en la pantalla aparece el número $24$, ahora luego de $12x$ pasos (con $x$ entero positivo), el número que se verá será $24+12x\times60=12\times (2+60x)=3\times4\times60x$ que es un múltiplo de $3$, y como $x$ puede tomar infinitos valores enteros positivos, aparecerán infinitos múltiplos de $3$ en la pantalla.
Última edición por 1000i el Mar 06 Feb, 2024 4:58 pm, editado 1 vez en total.
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drynshock

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Re: OFO 2024 Problema 4

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Problema 4 OFO 2024
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Introducción
Para poder hallar las soluciones a este problema, voy a encontrar un patrón y luego demostrar que se cumple para todos los números de la sucesión. A partir de eso, sacar conclusiones y llegar a las respuestas.

Sección 1
Primero notemos que el 1 ya esta en la pantalla desde el principio, es decir que Martu no tiene que apretar el botón para que aparezca, y por conveniencia lo vamos a excluir de la sucesión. Este es un movimiento valido ya que no hay ninguna pregunta que sea del estilo: "Cual es el termino numero xxxx de la sucesión".
La lista de los primeros términos:

$\boxed{2, 4, 8, 16}, \boxed{22, 24, 28, 36}, \boxed{42, 44, 48, 56}, \boxed{62, 64, 68, 76}, \boxed{82, 84, 88, 96},$ $\boxed{102, 104, 108, 116}, \boxed{122, 124, 128, 136}, ...$

Con esto ya es mas que suficiente para poder sacar conclusiones. Primero notemos que el ultimo digito siempre sigue el siguiente patrón: $2, 4, 8, 6, 2, 4, ...$. Segundo, vamos a llamar términos consecutivos relativos (TCR) a los términos de la forma $n = 4k + t, t = (0, 1, 2, 3), k \in \mathbb{N}$. Por ejemplo $(2, 22), (22, 42), (42, 44), ...$ son TCR, en cambio $4, 8, 24, (28, 44), (44, 48), ... $ no lo son. Ahora vamos a demostrar por inducción que la diferencia entre 2 TCR siempre es $20$. Por ejemplo $22 - 2 = 20, 64 - 44 = 20$. También, llamemos $a_n$ al enésimo termino de la sucesión.


Teorema 1: La diferencia entre 2 TCR siempre es $20$

Demostración:
Gracias a la consigna sabemos que el digito de las unidades es lo único que importa en el algoritmo, y que cualquier múltiplo de 10 no afecta en el resultado. Empezando de cero tenemos que los primeros términos de la sucesión quedan determinados por (2), (2 + 2), (2 + 2 + 4), (2 + 2 + 4 + 8), (2 + 2 + 4 + 8 + 6). Mirando el ultimo termino tenemos que: $a_5 = (2 + 20)$, como habíamos visto que solo nos importaba la unidad, el proceso se puede repetir considerando solamente la unidad 2 y luego sumarle 20 a cada termino nuevo. De manera formal, todos los términos de la forma $a_{4k - 3} = 20(k - 1) + 2$. Esta formula la podemos generalizar para los términos de la forma $4k + t - 3$ usando inducción:

Sea la formula $a_{4k + t - 3} = 20(k - 1) + a_{t + 1}$ ; ($a_{t + 1}$ representaría los casos iniciales: $(2, 4, 8, 16)$)

Caso base:
Para $k = 1$
$a_{4.1 + t - 3} = 20(1 - 1) + a_{t + 1} = a_{t + 1}$
$a_{t + 1} = a_{t + 1} = a_{t + 1}$
La formula cumple para el caso base.

Caso $a_{4w + t - 3}$:
$a_{4w + t} = 20(w - 1) + a_{t + 1}$

Caso $a_{4w + t - 3 + 1}$:
$a_{4w + t + 1} = 20.w + a_{t + 1}$

Ahora, si la diferencia entre $a_{4w + t -3 + 1}$ y $a_{4w + t - 3}$ es de 20, queda demostrada la formula para todo termino de la forma $4k + t - 3 $

$a_{4w + t - 3 + 1} - a_{4w + t - 3}$:
$20.w + a_{t + 1} - (20(w - 1) + a_{t + 1}) = 20$
$20.w + a_{t + 1} - 20w + 20 - a_{t + 1} = 20$
$20 = 20$

Vemos que cumple, por lo que la demostración esta terminada.

$\blacksquare$

Corolario 1: El numero que se muestra luego de apretar 2024 veces el botón es: 5066

Demostración:
Vemos lo siguiente, $\frac{2024}{4} = 506$ por lo tanto el numero que se muestra en pantalla es de la forma $4.506 + 3$. Reemplazando esta información en la formula, tenemos que: $a_{2024} = 20(506 - 1) + a_{3 + 1} \Rightarrow a_{2024} = 20.505 + 16 \Rightarrow \boxed{a_{2024} = 10116}$

$\blacksquare$


Sección 2
Ahora vamos a buscar los múltiplos de 3 y demostrar que hay infinitos al mismo tiempo. Para esto vamos a usar congruencia modular sobre nuestra formula. $a_{4k + t -3} = 20(k - 1) + a_{t + 1}$.


Teorema 2: La cantidad de múltiplos de 3 es: 674

Demostración:
Nosotros buscamos que $a_n \equiv 0 (mod 3)$, o lo que es lo mismo: $20(k - 1) + a_{t + 1} \equiv 0 (mod 3)$. Para poder resolver las congruencias vamos a considerar por separado $t = 0, 1, 2, 3$.
  • $20(k - 1) + 2 \equiv 0 (mod 3) \Rightarrow 2k - 2 + 2 \equiv 0 (mod 3) \Rightarrow k \equiv 0 (mod3)$
  • $20(k - 1) + 4 \equiv 0 (mod 3) \Rightarrow 2k - 2 + 4 \equiv 0 (mod 3) \Rightarrow k \equiv 2 (mod3)$
  • $20(k - 1) + 8 \equiv 0 (mod 3) \Rightarrow 2k - 2 + 8 \equiv 0 (mod 3) \Rightarrow k \equiv 0 (mod3)$
  • $20(k - 1) + 16 \equiv 0 (mod 3) \Rightarrow 2k - 2 + 16 \equiv 0 (mod 3) \Rightarrow k \equiv 2 (mod3)$
Notemos que por cada $3k$ hay 4 múltiplos de 3, entonces para redondear veamos que $\frac{504}{3} = 168$, por lo tanto hasta $n = 4.504 = 2016$ hay $168.4 = 672$ múltiplos de 3. Por ultimo nos queda considerar $k = 505$ y $k = 506$. Veamos que en $k = 506$ hay dos múltiplos de tres ya que $506 \equiv 2 (mod3)$ y en $k = 505$ no hay ninguno ya que $505 \equiv 1(mod 3)$. Luego nos queda que la cantidad total de múltiplos de 3, desde $a_1$ hasta $a_{2024}$ es 674.

$\blacksquare$

Corolario: Existen infinitos múltiplos de 3

Demostración:
Técnicamente esto ya esta demostrado, ya que al haber infinitos $k$, las congruencias de arriba funcionan para todos los naturales, y por lo tanto hay infinitos múltiplos de 3.

$\blacksquare$

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PD: Diganle a Martu de mi parte que se busque un laburo. ¿Quien aprieta un botón 2024 veces en su tiempo libre?
@Bauti.md ig
First place is winning, anything else is losing.
"Alexandra Trusova"
MartinB

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Re: OFO 2024 Problema 4

Mensaje sin leer por MartinB »

Una solución un tanto similar :)

Parte A:
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Demostraremos que, después de la primera vez que Martu aprieta el botón, el número en la pantalla siempre aumenta en $20$ al tocar cuatro veces el botón:

Separaremos el dígito de las unidades y el resto de los dígitos en cada número. Comenzando en un número cualquiera $10n+2$, y apretando repetidamente el botón, obtenemos la siguiente sucesión:

$10n+2$
$(10n+2)+2=10n+4$
$(10n+4)+4=10n+8$
$(10n+8)+8=10n+16=10(n+1)+6$, donde 6 es ahora el dígito de las unidades
$(10(n+1)+6)+6=10(n+1)+12=10(n+2)+2$, donde 2 es ahora el dígito de las unidades, al igual que al comienzo.

Tras apretar el botón cuatro veces, el dígito de las unidades vuelve a ser dos, mientras que el número aumentó en $20$. Si continuamos este ciclo, repetiremos nuevamente los dígitos de unidades $2−4−8−6$, en cada ciclo aumentando cada número en $20$. Si llamamos $a_{n}$ a los elementos de la sucesión, con $1=a_{0}$ y $n\in\mathbb{N}$, podemos afirmar que $a_{n+4}=a_{n}+20$ para $n\neq 0$, o aplicando esta propiedad de manera recursiva, podemos afirmar que $a_{n+4k}=a_{n}+20k$ para $k\in\mathbb{N}$.

Ahora, el número que aparece al apretar el botón $2024$ veces es $a_{2024}=a_{4+4∗505}=a_{4}+20∗505$.

Los primeros números de la sucesión son 1, 2, 4, 8, 16; por lo que $a_{4}=16$.
Entonces, $a_{2024}=16+20∗505=10.116$
Parte B:
Spoiler: mostrar
Miramos los restos módulo $3$ de los primeros $5$ números de la sucesión:

$\begin{matrix}

a_{n}&1&2&4&8&16\\
mod3&1&2&1&2&1

\end{matrix}$

Ignorando el primer número de la sucesión (ya que no es parte del ciclo de unidades, y no es múltiplo de $3$), y sabiendo que $20\equiv 2(3)$, elaboramos la tabla de congruencias módulo $3$ hasta $a_{16}$: la primera fila corresponde a $a_{1}$ hasta $a_{4}$, la segunda fila corresponda a $a_{5}$ hasta $a_{8}$, y así sucesivamente; en cada fila, sumamos $2mod3$ a cada valor, ya que es equivalente a sumar $20$, en módulo $3$.

$\begin{matrix}

Inicial&2&1&2&1\\
+2&1&0&1&0\\
+2&0&2&0&2\\
+2&2&1&2&1

\end{matrix}$

Notamos que la primera y última fila son iguales. Este ciclo de $3$ filas ($12$ números) se repite indefinidamente, a partir de $a_{1}$, cada uno con un total de $4$ múltiplos de $3$. Este ciclo se forma ya que, sumando $3$ veces $2$, agregamos $2∗3=6\equiv 0(3)$, por lo que al cabo de $3$ filas, las congruencias módulo $3$ de los números de la sucesión comienzan a repetirse. Dado que $2024=12∗168+8$, este ciclo se repite un total de $168$ veces, y además, termina en la segunda fila de nuestro ciclo.

Entonces, el número total de múltiplos de $3$ en la sucesión es igual a $168∗4+2=674$.
Parte C:
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Por el ciclo que mostramos en la parte B, podemos afirmar que al continuar la sucesión, Martu obtendrá infinitos múltiplos de $3$; y además, podemos afirmar exactamente que apretando el botón $12$ veces, siempre agrega $4$ múltiplos de $3$ a la sucesión.
1  
EmRuzak

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Re: OFO 2024 Problema 4

Mensaje sin leer por EmRuzak »

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Lema: al apretar el boton $4k+1$ veces con $k \geq 0$ se obtiene el número $20k+2$, con $4k+2$ se obtiene $20k+4$, con $4k+3$ se obtiene $20k+8$, con $4k+4$ se obtiene $20k+16$.
Demostración:
Con $k=1$ se puede verificar a mano
Llamamos ($n+n$%$10$ a $n$ mas su resto en la division por $10$)
Con $k>1$, sabemos que:

Si en el paso $4k+1$, $n=20k+2$, $n+n$%$10=20k+2+2=20k+4$
Entonces al apretar el boton, es decir en el paso $4k+2$, se obtiene $20k+4$

Si en el paso $4k+2$, $n=20k+4$, $n+n$%$10=20k+4+4=20k+8$
Entonces al apretar el boton, es decir en el paso $4k+3$, se obtiene $20k+4$

Si en el paso $4k+3$, $n=20k+8$, $n+n$%$10=20k+8+8=20k+16$
Entonces al apretar el boton, es decir en el paso $4k+4$, se obtiene $20k+16$

Si en el paso $4k+4$, $n=20k+16$, $n+n$%$10=20k+16+6=20k+22=20(k+1)+2$
Entonces al apretar el boton, es decir en el paso $4(k+1)+1$, se obtiene $20(k+1)+2$

Entonces por inducción se cumple el lema.

Si $k$ tiene resto $1$ en la división por $3$, $20k$ tiene resto $2$, entonces se obtienen entre los pasos $4k+1,4k+1,4k+3,4k+4$, $2$ multiplos de $3$, es decir $20k+2$ y $20k+8$
Si $k$ tiene resto $2$ se obtienen $2$ multiplos de $3$ es decir $20k+4$ y $20k+16$
Si $k$ tiene resto $3$ no se obtiene ninguno.

Hasta el paso $2024=4*505+4$, se obtienen todos los multiplos de $3$ con $k$ desde $0$ hasta $505=3*168+1$
Entonces hay $169$ $k$ con resto $0$ (ya que se incluye $k=0$), $169$ con resto $1$ (el 505) y $168$ con resto $2$,
Por lo que hay $169*2+168*2$ multiplos de $3$ es decir $678$

Y el número que se obtiene al final es $20*505+16=10116$

Además claramente hay infinitos multiplos de $3$ si se sigue hasta el infinito, por ejemplo si $k$ tiene resto $1$ en la division por $3$, en el paso $4k+2$ se obtiene el número $20k+4$, $20*(3a+1)+4$=$60a+24$ que es multiplo de $3$
vavargas
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Re: OFO 2024 Problema 4

Mensaje sin leer por vavargas »

:oops: hice el intento
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Hola muy buenos días, me llamo Valentina soy del norte de Argentina y estoy cursando 5 año de secundaria, lamentablemente en mi escuela/región no estamos muy avanzado en matemática, pero me encanta las matemáticas especial mente por la parte lógica al resolver los problemas. Realice el problema con todos los conocimientos que tengo, mil disculpas si no estoy a la altura, pero me gustaría saber si mi razonamiento estuvo en lo correcto Para saltear la explicación ir al punto 3)
Paso a explicar mi ejercicio

A-Determinar qué número mostrará la pantalla si Martu presiona el botón 2024 veces.
    1)Se nos da una serie de 7 números, a primera vista podemos ver que el siguiente número (8) tendrá como unidad el número ocho (24+4=38), base a esto se hace un siclo vicioso donde realice la siguiente tabla
    A-Es una tabla que tiene de lado horizontal los números 1 2 3 4, que representarían la unidad que tendrán los siguientes números es decir 8 6 2 4, (ausente los 3 primeros números de la fila ya que no respetan este patrón y su ausencia no afectaran a lo largo del ejercicio)
    Y de lado vertical todos los números que quisiéramos, esta fila nos ayudara más adelante
    Imagen
      2) Probamos con averiguar el número que aparecería en la pantalla presionando 9 veces
      A-Lo primero que hacemos es dividir en 4, luego tomamos como eje o ayuda la fila 3H (esta fila nos ayuda mucho ya que notamos que si multiplicamos XVertical * 2=2X le agregamos un 2 al final nos da de resultado un numero de la fila del 3H con esta base podemos llegar a las demás filas por sumas y restas )
      B- Seria
      9/4=2,25
      (Todo numero entero dividido en 4 puede tener 4 resultados X,0 X,25 X,5 X,75, ponemos esto arriba de la fila Horizontal para saber en qué fila esta) Ahora sabemos que el numero está en la fila 2H
      C- Continuamos separando 2 del ,25 y lo multiplicamos
      2 * 2 = 4 --> 42
      este número es el resultado de 2V y 3H para pasar a 2H tenemos que saber estas ""conversiones""
      3H a 1H= restar 14
      3H a 2H=restar 6
      3H a 4H=sumar 2
      hacemos la conversión
      42 - 6 = 36
      36 es el número que saldrá en la calculadora si Martu apretara 9 veces
      Imagen
        3)Ahora "Determinar qué número mostrará la pantalla si Martu presiona el botón 2024
        veces"
        2024 / 4 = 506
        506 * 2 = 1012 --> 10122 (3H)
        10122 - 14 =10108 (1H)
        El número que se mostraría en la pantalla si Martu presiona el botón 2024
        veces seria 10108

        B-Determinar cuántos de los números mostrados por la pantalla fueron múltiplos de 3
        Viendo nuestra tabla podemos observar un patrón, desde la fila 1V hasta la 3V tenesmo 4 números múltiplos de 3, este mismo patrón pasa desde la fila 4V hasta la 6V y así en tandas de 3 en 3 (de filas Verticales)
        Las posiciones de los números son 1-(1V,4H) 2-(2V,2H) 3-(2V,3H) 4-(3V,1H) y en el caso de la fila 4V hasta la 6V 1-(4V,4H) 2-(5V,2H) 3-(5V,3H) 4-(6V,1H)
        Este patrón abarca 12 números
        4 numero --> hay 1 múltiplo
        6 numero --> hay 2 múltiplo
        7 numero --> hay 3 múltiplo
        9 numero --> hay 4 múltiplo
        1) Este patrón es esencial, pero necesitamos saber cuántos números en la tabla existen antes del número 10108
        I-Primero a los 2024 toques le restamos los 3 (por los 3 números que sacamos de la tabla)
        2024 - 3 = 2021
        II-Son 2021 números que están antes del 10108, Sabemos que el patrón abarca 12 números que tiene 4 múltiplos de 3, para saber cuánto se repite el patrón se debe dividir:
        2021 / 12 = 168, 41.
        III-Ya sabemos cuántas veces se repite ahora multiplicarlo por 4 por los 4 múltiplos
        168 * 4 = 672
        A-El cociente de la operación II dio con coma esto indica que hay un grupo de números que no llegaron a ser en total 12, para saber cuántos números ahí 168 tandas de 12 números y restarlo con la cantidad d toques que se le dio al botón:
        2024 - 12 * 168 = 8
        Ahora para saber la posición donde están los números y saber si son múltiplos de 3 tenemos que dividirlo en 4 por las 4 filas horizontales (La tabla que tenemos comienza con x,0 por eso mismo a esta ecuación tenemos que restarle 0,25. Por ejemplo si sobrara un numero seria 1/4=0,25 pero el 0,25 cuenta como el segundo numero)
        (8 / 4) - 0,25 = 1,75=A, b
        A representan cuantas filas verticales se completaron
        b representa en que posición de los horizontales está el ultimo numero
        1 * 4 + 0,75 * 4 = 7 números sobrantes
        7 numero --> hay 3 múltiplo
        672 + 3 = 375
        375 de los números mostrados por la pantalla fueron múltiplos de 3

        C-Demostrar que, sin importar cuántas veces Martu presione el botón, seguirán apareciendo múltiplos de 3 en la pantalla.
        Por más que Martu presione el botón, seguirán apareciendo múltiplos de 3 en la pantalla ya que se repite el patrón anteriormente explicado en el punto B
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        BR1

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        Re: OFO 2024 Problema 4

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