Se tiene un cuadrilátero $ABCD$. Se marca un punto $M$ en el lado $AD$ tal que $AM=MD$. Los segmentos $AC$ y $BM$ se cortan en $G$. Se sabe que$$A\widehat BM=50^\circ ,\quad A\widehat DC=60^\circ ,\quad B\widehat GC=70^\circ \quad \text{y}\quad A\widehat MB=80^\circ .$$Determinar la medida del ángulo $B\widehat CA$.
Vamos a hacer angulitos.
Por opuestos por el vértice tenemos que $A\widehat GM=B\widehat GC=70^\circ$. Por suma de ángulos interiores en el triángulo $AGM$ tenemos que $M\widehat AG=30^\circ$. Por ser suplementarios tenemos que $A\widehat GB=180^\circ -B\widehat GC=180^\circ -70^\circ =110^\circ$. Por suma de ángulos interiores en el triángulo $ABG$ tenemos que $G\widehat AB=20^\circ$. Sumando tenemos que $M\widehat AB=M\widehat AG+G\widehat AB=30^\circ +20^\circ =50^\circ$, así que el triángulo $AMB$ es isósceles con $AM=MB$. Por suma de ángulos interiores en el triángulo $ACD$ tenemos que $A\widehat CD=90^\circ$.
Ahora podemos tomar dos caminos.
El primero es usar que por el Lema de tu Vida tenemos que $CM=DM=AM=BM$, lo que nos dice que el triángulo $BMC$ es isósceles con $BM=MC$ y el triángulo $CMD$ es isósceles con $CM=MD$. Entonces $M\widehat CD=C\widehat DM=60^\circ$, así que por suma de ángulos interiores en el triángulo $CMD$ tenemos que $C\widehat MD=60^\circ$. De esto obtenemos que $C\widehat MB=40^\circ$, y como $BMC$ es isósceles con $BM=MC$, resulta $M\widehat BC=B\widehat CM=70^\circ$. Entonces $A\widehat BC=A\widehat BM+M\widehat BC=50^\circ +70^\circ =120^\circ$, y por suma de ángulos interiores en el triángulo $ABC$ tenemos que $B\widehat CA=40^\circ$.
El segundo es usar que el triángulo $ACD$ es medio equilátero, con lo que $CD=DM$, de modo que el triángulo $CDM$ es isósceles con $M\widehat CD=D\widehat MC$, y por suma de ángulos interiores en el triángulo $CMD$ resulta $M\widehat CD=D\widehat MC=60^\circ$. Entonces el triángulo $CMD$ es equilátero, así que $CM=DM=AM=BM$, lo que nos dice que el triángulo $BMC$ es isósceles con $BM=MC$. De la igualdad $C\widehat MD=60^\circ$ obtenemos que $C\widehat MB=40^\circ$, y como $BMC$ es isósceles con $BM=MC$, resulta $M\widehat BC=B\widehat CM=70^\circ$. Entonces $A\widehat BC=A\widehat BM+M\widehat BC=50^\circ +70^\circ =120^\circ$, y por suma de ángulos interiores en el triángulo $ABC$ tenemos que $B\widehat CA=40^\circ$.
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Introducción
Mi objetivo a lo largo del problema es ir encontrando triángulos equiláteros e isósceles para poder establecer una relación entre los ángulos.
Sección 1
Para empezar vamos a trazar $MC$, lo cual nos va a ayudar muchísimo en la resolución del problema.
Teorema 1: El triangulo $ADC$ es rectángulo en C
Demostración:
Primero notemos que por la propiedad ángulos opuestos por el vértice $\angle MGA = \angle CGB = 70°$. Sabiendo esto podemos plantear por la propiedad suma de ángulos interiores de un triangulo tal que $\angle MAG + \angle AMG + \angle AGM = 180° \Rightarrow \angle MAG + 80° + 70° = 180° \Rightarrow \angle MAG = 30°$. Ahora volvemos a usar la misma propiedad en el triangulo $ADC$: $\angle ACD + \angle ADC + \angle DAC = 180° \Rightarrow \angle ADC + 30° + 60° = 180° \Rightarrow \boxed{\angle ADC = 90°}$ lo cual implica que el triangulo $ADC$ es rectángulo en $C$
$\blacksquare$
Corolario 1: El triangulo $DMC$ es equilátero
Demostración:
Como anteriormente habíamos demostrado que los ángulos del triangulo $ADC$ son $\angle ADC = 60°, \angle DCA = 90°$ y $\angle CAD = 30°$ entonces tenemos las condiciones suficientes para afirmar que el triangulo $ADC$ es medio equilátero, esto implica directamente que por propiedad de medio equilátero $AD = 2.DC$. Recordemos que $DM = AM$ por lo tanto $AD = 2DM \Rightarrow 2DM = 2DC \Rightarrow DM = DC$. De esto concluimos que el triangulo $MDC$ es isósceles con $DM = DC \Rightarrow \angle DMC = \angle MCD$.
Luego por propiedad suma de ángulos interiores nos queda que: $\angle DMC + \angle MCD + \angle MDC = 180° \Rightarrow 2.\angle DMC + 60° = 180° \Rightarrow \angle DMC = 60°$. Luego tenemos que $\angle DMC = \angle DCM = \angle MDC = 60°$ por lo que el triangulo $DMC$ es equilátero ya que sus tres ángulos son iguales y esto implica que sus tres lados también lo sean.
$\blacksquare$
Corolario 2: El triangulo $AMC$ es isósceles
Demostración:
Como antes demostramos, $DM = MC = AM$ lo cual implica que $\angle MAC = \angle ACM = 30°$. De paso veamos que por ángulo llano en $M$ tenemos que: $\angle CMB + \angle DMC + \angle AMB = 180° \Rightarrow \angle CMB + 60° + 80° = 180° \Rightarrow \angle CMB = 40°$.
$\blacksquare$
Sección 2
Ahora vamos a demostrar que el triangulo $MCB$ es isósceles con $MC = MB$ para así poder hallar el valor de $\angle ACB$
Teorema 2: El triangulo MCB es isósceles
Demostración:
Recordemos que $\angle CGB = 70°$ lo cual, por ángulo llano nos queda $\angle AGB + \angle CGB = 180° \Rightarrow \angle AGB = 110°$. Luego por suma de ángulos interiores en el triangulo $AGB$ tenemos que: $\angle AGB + \angle ABG + \angle BAG = 180° \Rightarrow \angle BAG + 50° + 110° = 180° \Rightarrow \angle BAG = 20°$. Ahora notemos que $\angle MAB = \angle MAG + \angle GAB \Rightarrow \angle MAB = 30° + 20° \Rightarrow \angle MAB = 50°$, pero como $\angle MBA = 50°$ también, entonces el triangulo $AMB$ es isósceles con $AM = MB$.
Recordando un poco, tenemos que $AM = MB = MC$ por lo tanto, el triangulo $MBC$ es isósceles con $MB = MC$ y $\angle MBC = \angle MCB$
$\blacksquare$
Teorema 3: $\angle ACB = 40°$
Demostración:
Finalmente, veamos dos cosas, primero que $\angle MCB = \angle MCG + \angle BCG \Rightarrow \angle MCB = \angle MBC = 30° + \angle BCG$ y segundo que por suma de ángulos interiores: $\angle MBC + \angle MCB + \angle CMB = 180° \Rightarrow 40° + 30° + \angle BCG + 30° + \angle BCG = 180° \Rightarrow 2.\angle BCG = 80° \Rightarrow$
$\angle BCG = 40°$. Si nos fijamos $\angle BCG = \boxed{\angle ACB = 40°}$ por lo que la demostración esta terminada.
Como $\angle ABM=50^\circ$ y $\angle AMB=80^\circ$, luego $\angle BAM=50^\circ$ y entonces $AM=MB$.
También sabemos que la suma de dos ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a la suma de los otros dos ángulos externos, entonces en $CDMG$:
$$\angle GMA+\angle BGC=\angle GCD+\angle MDC\to \angle GCD=80^\circ+70^\circ-60^\circ=90^\circ.$$
Luego, como $AM=MD$, $M$ es punto medio de la hipotenusa $AD$ del triangulo rectángulo $\triangle ACD$, y entonces $AM=MC=MD$.
Por lo tanto, $MA=MB=MC=MD$, es decir $M$ es circuncentro de $ABCD$ y finalmente:
$$\angle BCA=\frac{\angle BMA}{2}=40^\circ.$$
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