OFO 2024 Problema 2

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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Monazo

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OFO 2024 Problema 2

Mensaje sin leer por Monazo »

En el último Nacional de OMA participaron $2024$ personas. Para definir al ganador del certamen, decidieron organizar un partido de fútbol. Al momento de armar los equipos, Jolo enumeró a los participantes del $1$ al $2024$ según su ranking FIFA, y envió a los participantes con ranking impar al equipo $A$, y a los participantes con ranking par al equipo $B$.
Cuando terminó el partido, Martín notó que cada jugador marcó para su equipo una cantidad de goles igual al cuadrado de su ranking, es decir, el jugador $1$ metió $1^2=1$ gol, el jugador $2$ metió $2^2=4$ goles, y así sucesivamente hasta el jugador $2024$, que metió $2024^2=4.096.576$ goles.
Determinar qué equipo fue el ganador y calcular cuál fue la diferencia de goles entre los equipos del partido.
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Monazo

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Re: OFO 2024 Problema 2

Mensaje sin leer por Monazo »

Aquí publicaremos la solución oficial.
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drynshock

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Re: OFO 2024 Problema 2

Mensaje sin leer por drynshock »

Problema 2 OFO 2024
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Introducción
Para empezar me gustaría traducir el problema a lenguaje matemático:
  • El equipo A esta conformado por los jugadores impares, por lo que podemos definir $A^{*} =$ {$1, 3, 5, ..., 2023$}
  • El equipo B esta conformado por los jugadores pares, por lo que podemos definir $B^{*} =$ {$2, 4, 6, ..., 2024$}
  • La suma de goles del equipo A es: $A =1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + 2023^2$
  • La suma de goles del equipo B es: $B =2^2 + 4^2 + 6^2 + ... + 2024^2$
El problema se reduce a calcular $B - A$ ya que si $B > A \Rightarrow B - A > 0$, por lo tanto si el resultado es positivo significa que el equipo B metió mas goles que el equipo A, lo cual vendría a ser la respuesta a la primer parte del problema.

Sección 1
Para este problema tengo dos soluciones distintas ya que $2 > 1$ ;) , sin embargo necesito demostrar primero que el cardinal de A es igual al cardinal de B. Esto va a servir para poder plantear una biyeccion entre conjuntos y poder aplicar propiedades de sumatoria.

Propiedades
Para la comodidad del lector voy a enunciar todas las formulas / propiedades que voy a usar para no estar repitiéndolas una y otra vez.
  • 1) $\displaystyle\sum_{i = 1}^{n}(1) = n$
  • 2) $\displaystyle\sum_{i = 1}^{n}(k.f(n)) = k.\displaystyle\sum_{i = 1}^{n}f(n) = n$ (Siendo $k$ una constante)
  • 3) $\displaystyle\sum_{i = 1}^{n}(n) = \frac{n(n+1)}{2}$
  • 4) $\displaystyle\sum_{i = 1}^{n}(f(n) + g(n)) = \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}f(n) + \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}g(n)$
Teorema 1: $n(A^{*}) = n(B^{*})$

Demostración:
Denotemos $n(x)$ al cardinal del conjunto $x$, el cual representa la cantidad de elementos del conjunto.
Recordemos que:
$A^{*} =$ {$1, 3, 5, ..., 2023$}
$B^{*} =$ {$2, 4, 6, ..., 2024$}
Luego, la formula para calcular la cantidad de números pares / impares desde 1 hasta $n$ es $\lceil\frac{n}{2}\rceil$. Por lo tanto la cantidad de impares hasta 2023 es $\lceil\frac{2023}{2}\rceil = 1012$, y la cantidad de numeros pares es $\lceil\frac{2024}{2}\rceil = 1012$. Como los resultados son iguales, concluimos que $n(A^{*}) =n(B^{*})$

$\blacksquare$


Solución 1: Usando sumatorias

Demostración:
Recordemos que:
$A =1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + 2023^2$
$B =2^2 + 4^2 + 6^2 + ... + 2024^2$
Por lo tanto podemos expresar $A$ y $B$ de otra manera usando sumatorias:
$A = \displaystyle\sum_{i = 1}^{1012}(2i-1)^2$
$B = \displaystyle\sum_{k = 1}^{1012}(2k)^2$

Ahora podemos calcular la diferencia $B - A$:
$$B - A = \displaystyle\sum_{k = 1}^{1012}(2k)^2 - \displaystyle\sum_{i = 1}^{1012}(2i - 1)^2$$
$$B - A = \displaystyle\sum_{k = 1}^{1012}4k^2 - \displaystyle\sum_{i = 1}^{1012}(4i^2 - 4i +1)$$
$$B - A = \displaystyle\sum_{k = 1}^{1012}4k^2 - \displaystyle\sum_{i = 1}^{1012}4i^2 - \displaystyle\sum_{i = 1}^{1012}(-4i) - \displaystyle\sum_{i = 1}^{1012}1$$
Notemos que $\displaystyle\sum_{k = 1}^{1012}4k^2 = \displaystyle\sum_{i = 1}^{1012}4i^2$ ya que es la misma serie evaluada en los mismos puntos solamente que con otra variable.
$$B - A = - \displaystyle\sum_{i = 1}^{1012}(-4i) - \displaystyle\sum_{i = 1}^{1012}1$$
$$B - A = \displaystyle\sum_{i = 1}^{1012}(4i) - 1012$$
$$B - A = 4.\displaystyle\sum_{i = 1}^{1012}(i) - 1012$$
$$B - A = 4.\frac{1012.(1012+1)}{2} - 1012$$
$$B - A = 2,049,300$$

Por lo tanto el equipo B le gano al equipo A con una diferencia de $2,049,300$ goles.
Spoiler: mostrar
Sin perdida de generalidad podemos decir que el equipo B gano gracias a los 4.096.576 goles de Martin Lupin :lol: :lol:
$\blacksquare$


Solución 2: Biyeccion entre conjuntos

Demostración:
Notemos lo siguiente:
$A =1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + 2023^2$
$B =2^2 + 4^2 + 6^2 + ... + 2024^2$

Como estamos trabajando con un conjunto finito de elementos que tiene el mismo cardinal, sabemos que cada elemento del conjunto $A$ va a tener a otro del conjunto $B$. Por lo tanto:
$$B - A = (2^2 - 1^2) + (4^2 - 3^2) + (6^2 - 5^2) + ... + (2024^2 - 2023^2)$$
Ahora veamos que la diferencia entre dos términos consecutivos la podemos expresar de la siguiente manera:
$$(2k)^2 - (2k - 1)^2$$
$$4k^2 - (4k^2 - 4k + 1)$$
$$4k - 1$$
Y este proceso se repite 1012 veces, por lo tanto volviendo a usar sumatorias nos queda que:
$$B - A = \displaystyle\sum_{k = 1}^{1012}(4k - 1)$$
$$B - A = \displaystyle\sum_{k = 1}^{1012}(4k) - \displaystyle\sum_{k = 1}^{1012}1$$
$$B - A = 4.\frac{1012.(1012+1)}{2} - 1012$$
$$B - A = 2,049,300$$

Que es exactamente lo mismo que obtuvimos antes, así que con esto queda terminada la resolución del problema.

$\blacksquare$
@Bauti.md ig // Ridin' in a getaway car // $\zeta (s) =\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}$
EmRuzak

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Re: OFO 2024 Problema 2

Mensaje sin leer por EmRuzak »

Spoiler: mostrar
Sabemos que la cantidad de goles del equipo $A$ es la suma de los números impares del $1$ al $2024$ es decir $A=1^2+3^2+5^2+...+2023^2$ y la cantidad de goles del equipo $B$ es la suma de los números pares del $1$ al $2024$ es decir $B=2^2+4^2+...+2024^2$
La diferencia de goles $B-A$ es $B-A=(2^2-1^2)+(4^2-3^2)+...+(2024^2-2023^2)$
Sabemos que $a-(a-1)^2=a^2-a^2+2a-1=2a-1$
entonces $B-A=(2*2-1)+(2*4-1)+(2*6-1)+...+(2*2024-1)=\sum_{n=1}^{1012}(4n-1)=4\sum_{n=1}^{1012}n-1012$
por la formula de los numeros triangulares:
$4\sum_{n=1}^{1012}n-1012=4\frac{(1012+1)(1012)}{2}-1012=2049300$
Entonces gana el equipo $B$ con $2049300$ goles de diferencia.
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