Simulacro Regional/Provincial OMA 2024

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Simulacro Regional/Provincial OMA 2024

Bueno, el título ya lo dice todo jaja . La prueba es individual, tienen 3 horas y 30 minutos, se puede usar calculadora y consultar libros y apuntes. Les digo todo esto porque les recomiendo que piensen esta prueba como si fuera la real (¡para algo están los simulacros!), aunque pueden hacer lo que ustedes quieran. Después voy a subir cada problema en un post aparte para que puedan compartir sus soluciones.

PDF:

Simulacro_Regional.pdf

Si encuentran algún error en el PDF avísenme, y si tienen alguna duda de algún enunciado consúltenme acá abajo .

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Nivel 1

Problema 1.
Un entero positivo se llama sincero si ninguno de sus dígitos en su representación decimal es igual a $0$. Se puede transformar un entero positivo $x$ en un número sincero simplemente omitiendo todos los ceros en su representación decimal. Se denota a este nuevo número como $\{x\}$. Por ejemplo, $\{2024\}=224$ y $\{1010\}=11$. Determinar todos los pares de enteros positivos sinceros $(a, b)$ con $1<a<b<100$ tales que $\{\{a \cdot b\} - 1\} = 1$.

Problema 2.
Se tiene un tablero cuadrado de $N \times N$ dividido en $N^2$ casillas, donde $N$ es un entero positivo dado. Un dominó es una ficha rectangular que cubre exactamente dos casillas adyacentes del tablero, o sea, con un lado en común. Matías quiere colorear cada casilla de rojo o de azul de modo que haya exactamente $2024$ formas de colocar un dominó en el tablero que cubra una casilla de cada color. Determinar el menor valor posible de $N$ para el cual Matías puede lograr su objetivo.

Problema 3.
Sea $ABCDEF$ un hexágono con todos sus lados iguales tal que $AB \parallel ED$, $BC \parallel EF$ y $CD \parallel FA$. Al prolongarlas, las rectas $AB$ y $CD$ se cortan en $P$, las rectas $AB$ y $EF$ se cortan $Q$, y las rectas $CD$ y $EF$ se cortan en $R$. Si $PQ=200$, $QR=300$ y $RP=240$, calcular la medida del lado del hexágono.

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Nivel 2

Problema 1.
Hallar todos los tríos de enteros positivos distintos $(a, b, c)$ tales que $2a-1$ es divisible por $b$, $2b-1$ es divisible por $c$ y $2c-1$ es divisible por $a$.

Problema 2.
Dos jugadores, $A$ y $R$, juegan por turnos en un tablero cuadriculado infinito en todas las direcciones, donde todas las casillas son inicialmente blancas. En el turno de $A$, éste elige una casilla blanca y la colorea de azul. En el turno de $R$, éste elige dos casillas blancas y las colorea de rojo. Comenzando por $A$, los jugadores toman turnos de la manera espicificada hasta que $A$ decida terminar el juego. En ese momento, $A$ elige algún polígono simple que esté conformado únicamente por casillas azules y recibe una puntuación igual al área del polígono, es decir, a la cantidad de casillas que contiene.
Determinar la mayor puntuación que $A$ puede asegurarse independientemente de las acciones de $R$.
Nota: Un polígono simple es un polígono (no necesariamente convexo) que no se entrecruza y no tiene agujeros.

Problema 3.
En el cuadrilátero convexo $ABCD$, el lado $AB$ es perpendicular a la diagonal $BD$ y el lado $CD$ es perpendicular a la diagonal $AC$. La recta que pasa por $B$ y es perpendicular al lado $AD$ corta a la diagonal $AC$ en $O$. Si $AB = 28$, $CD = 65$ y $AO=8$, calcular la medida del segmento $CO$.

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Nivel 3

Problema 1.
Emilia tiene $3$ bloques con la letra $A$, $3$ bloques con la letra $B$ y $3$ bloques con la letra $C$. Ella ordena estos $9$ bloques en una secuencia y desea maximizar el número de distancias distintas que ocurren entre bloques con la misma letra. Por ejemplo, en la secuencia $ABCAABCBC$, las distancias entre los bloques con la letra $A$ son $1$, $3$ y $4$; las distancias entre los bloques con la letra $B$ son $2$, $4$ y $6$; y las distancias entre los bloques con la letra $C$ son $2$, $4$ y $6$. En total, se obtienen $5$ distancias distintas: $1$, $2$, $3$, $4$ y $6$.
Determinar la mayor cantidad posible de distancias distintas que pueden ocurrir.

Problema 2.
Determinar el mayor entero $k$ para el cual existe una permutación $(a_1, a_2, \ldots, a_{2024})$ de los números $1, 2, \ldots, 2024$ tal que el número$$\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_i}{1 + 2 + \cdots + i}$$es un entero mayor que $1$ para exactamente $k$ índices $i$ con $1 \leq i \leq 2024$.

Problema 3.
Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $AB=2$, $AD=7$ y $CD=3$ tal que las bisectrices de los ángulos agudos $\angle DAB$ y $\angle CDA$ se cortan en el punto medio del lado $BC$. Calcular el área del cuadrilátero $ABCD$.

[Fedex]

EN EXCLUSIVA: Imágenes del nacional 2024 en la Falda, Córdoba

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EN EXCLUSIVA: Imágenes del nacional 2024 en la Falda, Córdoba
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Bueno, tenés razón, quizás lo hice demasiado complicado, piénsenlo como un simulacro para el provincial sino jaja

EDIT: En primer nivel me parece que van a hacer un regional bastante jodido (el zonal fue muy fácil), pero no sé bien la situación en los otros niveles.

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Si quieren me pueden mandar sus soluciones por mensaje privado y yo se las corrijo

[mora]

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[ramanujan84]

Si quieren me pueden mandar sus soluciones por mensaje privado y yo se las corrijo

hola! no entendí q pide el problema 2 N3

[Koba]

che pero es un simulacro del regional o de la imo? capaz se confundieron