IMO 2008 - P2

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Gianni De Rico

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IMO 2008 - P2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 07 Jul, 2018 12:16 pm

(a) Demostrar que $$\frac{x^2}{(x-1)^2}+\frac{y^2}{(y-1)^2}+\frac{z^2}{(z-1)^2}\geqslant 1$$ para todos los números reales $x$, $y$, $z$, distintos de $1$, con $xyz=1$.

(b) Demostrar que existen infinitas ternas de números racionales $x$, $y$, $z$, distintos de $1$, con $xyz=1$ para los cuales se da la igualdad.
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Nicolas Valen
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Re: IMO 2008 - P2

Mensaje sin leer por Nicolas Valen » Vie 31 Jul, 2020 9:29 pm

Parte $a$
Spoiler: mostrar
$\frac{x}{(x-1)^2}$ + $\frac{y}{(y-1)^2}$ + $\frac{z}{(z-1)^2}$$\geq 1$ y $xyz = 1$
Tomo: a = $\frac{x}{(x-1)}$ ; b = $\frac{y}{(y-1)}$ ; c = $\frac{z}{(z-1)}$
Notemos que $a^2 + b^2 + c^2$ $\geq 1$ y $\frac{a}{(a+1)}$$\frac{b}{(b+1)}$$\frac{c}{(c+1)}$ = 1 $ \Rightarrow $ $abc = (1+a)(1+b)(1+c) = 1+ ab + bc + ac + a + b + c + abc$
Sea $p = a + b + c$ y $q = ab + bc + ac$ $ \Rightarrow $ $0 = 1+ p +q$ $ \Rightarrow (1+q)^2 = p^2 $
Es facil ver que: $p^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac$ y como $a^2 + b^2 + c^2$ $\geq 1$ $ \Rightarrow p^2 - 2q \geq 1$ $ \Rightarrow (1 + q)^2-2q \geq 1$ $ \Rightarrow 1 + q^2 \geq 1$ $ \Rightarrow q^2 \geq 0$ $\forall q$ $\blacksquare$.
Parte $b$
Spoiler: mostrar
Tomamos: $q = ab + bc + ac = 0$ y $ a + b + c = p = -1$ $ \Rightarrow bc + (-1-b-c)(b+c) = 0$ Por consigna $ a;b;c \in \mathbb{Q} \Rightarrow $ nos tomamos $b = \frac{x}{y}$ y $c = \frac{z}{y}$ con $x; y; z \in \mathbb{Z}$
De la ecuación anterior deducimos: $bc = b + c + b^2 + c^2$ $ \Rightarrow \frac{xz}{y^2} = \frac{x+z}{y} + \frac{x^2 + z^2 }{y^2}$
Por lo tanto: $zx = y(x + z) + (x + z)^2 \Leftrightarrow y = \frac{zx}{x+z} - (x + z)$
Es fácil ver que: $x+z | xz \Rightarrow \forall \psi \neq 0 \in \mathbb{Z} $ lo siguiente verifica:
$x = \psi$
$z = \psi^2 - \psi$
$y = \psi - \psi^2 - 1$
ya que $y = \frac{zx}{x+z} - (x + z) \Rightarrow \psi - \psi^2 - 1 = \frac{(\psi^2 - \psi)\psi}{\psi+(\psi^2 - \psi)} - (\psi + (\psi^2 - \psi)) = \frac{\psi^3 - \psi^2}{\psi^2} - \psi^2 = \psi -1 - \psi^2$ que es exactamente lo que queríamos probar.
Ya que: $\psi^2 | \psi(\psi^2 - \psi)$ $\Rightarrow b = \frac{x}{y} = \frac{\psi}{\psi - 1 - \psi^2} ; c = \frac{z}{y} = \frac{\psi^2 - \psi}{\psi - 1 - \psi^2} ; a = -1 - \frac{\psi}{\psi - 1 - \psi^2} - \frac{\psi^2 - \psi}{\psi - 1 - \psi^2} = \frac{1 - \psi}{\psi - 1 - \psi^2}$
Como $\frac{a}{(a+1)}\frac{b}{(b+1)}\frac{c}{(c+1)} = 1 \Rightarrow \frac{1 - \psi}{\psi - 1 - \psi^2 +1} \frac{\psi}{\psi - 1 - \psi^2 + 1}\frac{\psi^2 - \psi}{\psi - 1 - \psi^2 +1} = \frac{(\psi - \psi^2)^2}{(\psi - \psi^2)^2} = 1$
Notemos que a, b y c son racionales bien definidos para todo $\psi$ entero, sin restricciones.
$a; b; c \in \mathbb{Z}$ $\forall \psi \Rightarrow p=-1 ; q = 0 / \frac{a}{(a+1)}$$\frac{b}{(b+1)}$$\frac{c}{(c+1)} = 1 \Rightarrow xyz = 1$ $\forall x;y; z \in \mathbb{Q}$. $\blacksquare$
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