47° IMO (2006) - Problema 5

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Caro - V3

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47° IMO (2006) - Problema 5

Mensaje sin leer por Caro - V3 » Jue 23 Dic, 2010 12:19 pm

Sea [math] un polinomio de grado [math] con coeficientes enteros y sea [math] un entero positivo. Considere el polinomio [math], donde [math] aparece [math] veces. Demuestre que hay a lo sumo [math] enteros [math] tales que [math].
Guía de [math]: sirve para escribir ecuaciones como [math]

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ésta

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Re: 47° IMO (2006) - Problema 5

Mensaje sin leer por ésta » Mar 08 Mar, 2011 12:34 am

solución
Spoiler: mostrar
Sea [math] el polinomio [math] donde se aplica [math] veces [math]
Sea [math] el mayor entero positivo [math] tal que existe [math] tal que [math] y [math] para cualquier [math] menor a [math].
Entonces existen [math] enteros distintos tal que [math] para [math] y [math].

Pero entonces [math] (con los índices módulo [math], para todo [math])
Sigue que [math]
Que implica que [math]
Pero como los [math] son todos distintos, tenemos que [math], ya que sino tenemos que tener
[math] (porque sino nos queda [math]), para todo [math] módulo [math], pero entonces [math] es una progresión aritmética infinita de razón no nula, pero hay términos que se repiten, Absurdo.

Si [math], este punto pertenece a la recta [math].

Si además existe un ciclo con [math], es decir [math]:
[math].
Cómo [math], sigue que [math] y los tres puntos pertenecen a la recta [math]

Si tomamos dos ciclos con [math], [math] y [math]
[math]
[math]

Ahora si [math], [math].
No puede ser que [math] pues sumando ambas ecuaciones sale que [math], entonces [math]
Y [math] de donde los cuatro puntos están sobre [math].
Si [math] tenemos directamente que [math] y los cuatro puntos están alineados.

Entonces tomando cualesquiera tres [math] tal que [math] para algún [math], los tres puntos están sobre una recta [math]. Pero si hay más de [math] enteros con esta propiedad, tenemos que [math] tiene más de [math] raíces y tiene grado igual a [math] porque [math] y por ende los coeficientes principales de [math] y [math] son iguales. Absurdo.

Por lo tanto hay a lo sumo [math] números con esta propiedad.
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