Nacional 2005 Nivel 3 - Problema 3

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Franco Frizzo
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Nacional 2005 Nivel 3 - Problema 3

Mensaje sin leer por Franco Frizzo » Lun 01 Oct, 2012 5:14 pm

Sea [math] un número real tal que [math]. Demostrar que [math] es irracional.
Aclaración: los corchetes indican la parte entera del número que encierran.

Franco Frizzo
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Re: Nacional 2005 Nivel 3 - Problema 3

Mensaje sin leer por Franco Frizzo » Lun 01 Oct, 2012 5:16 pm

No estoy del todo convencido de esta solución, a ver si alguien tiene ganas de corregirla jajaja:
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Supongamos que [math] es racional. Entonces podemos escribirlo como [math], con [math], [math] y [math] enteros, [math] y [math] coprimos, [math] y [math], donde [math] es la parte entera de [math] y [math] su parte decimal. Luego, reemplazamos en [math]:
[math].
De un lado de la ecuación tenemos a [math], que es obviamente múltiplo de [math]. En el otro miembro, tenemos a [math], que también es múltiplo de [math], y a [math], que no es múltiplo de [math] porque [math] y [math] son coprimos. Luego [math] no puede ser múltiplo de [math], lo cual es absurdo.
Esto implica que [math] no puede ser racional y, como es un número real, entonces debe ser irracional.

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Ivan

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Re: Nacional 2005 Nivel 3 - Problema 3

Mensaje sin leer por Ivan » Lun 01 Oct, 2012 7:59 pm

Está casi perfecta la solución, la idea es esa :D

Un detalle. La parte decimal [math] cumple [math].

Si [math] no es entero, la parte decimal no es [math] y el argumento que hacés funciona bien.

Si [math] es entero, la parte decimal es [math], quedaría [math] y no podrías hacer el mismo argumento. Igual este caso es fácil como [math] queda [math] que no puede ocurrir.
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)

Franco Frizzo
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Re: Nacional 2005 Nivel 3 - Problema 3

Mensaje sin leer por Franco Frizzo » Lun 01 Oct, 2012 8:30 pm

Gracias, y es verdad, no me di cuenta de aclarar ese detalle! Cuando lo estaba resolviendo se me ocurrió el caso y lo resolví pensando que si [math] queda [math] y como [math], también es absurdo. Después me olvidé totalmente de eso jaja.

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Martín Vacas Vignolo
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Re: Nacional 2005 Nivel 3 - Problema 3

Mensaje sin leer por Martín Vacas Vignolo » Mié 03 Oct, 2012 6:46 pm

Un detalle, de rompe bolas nomás
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[math]
[math]

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3,14

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Re: Nacional 2005 Nivel 3 - Problema 3

Mensaje sin leer por 3,14 » Lun 26 Sep, 2016 4:28 pm

Otra forma:
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[math]
Podemos hacer baskara y obtenemos que:
[math]
Notar que el término dentro de la raíz cuadrada es entero, y que [math] es entero. Para que [math] no sea irracional, entonces el término dentro de la raíz deberá ser un cuadrado perfecto (porque la raíz de un número entero es o bien entero o bien irracional). Pero eso significaría que hay dos cuadrados perfectos separados por una distancia de [math], y es fácil comprobar que esto no es posible a no ser que [math], lo que es claramente imposible. Entonces [math] es irracional.
Última edición por 3,14 el Mar 01 Nov, 2016 7:31 am, editado 1 vez en total.
[math]

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Julian_Ferres

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Re: Nacional 2005 Nivel 3 - Problema 3

Mensaje sin leer por Julian_Ferres » Lun 31 Oct, 2016 12:44 pm

@3,14 Creo que en la solución queda que [math] en lugar de [math]

Igual de ahi es facil, porque te queda que [math] y por lo tanto el lado izquierdo de la ecuación es mayor a [math] y el de la izquierda es menor que [math] estarías staría.

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3,14

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Re: Nacional 2005 Nivel 3 - Problema 3

Mensaje sin leer por 3,14 » Mar 01 Nov, 2016 7:32 am

Gracias, ahí lo edité! También se puede ver reemplazando en la última ecuación [math], y te queda [math], que no cumple.
1  
[math]

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Re: Nacional 2005 Nivel 3 - Problema 3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Dom 16 Jul, 2017 10:23 pm

Esencialmente es la misma idea que la de @3,14, pero se me ocurrió comiendo una pizza napolitana, así que la subo igual
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Trabajamos la ecuación y queda:
[math]

Usamos la vieja y querida resolvente y queda:

[math]

Supongamos que [math] es racional, entonces [math] es un cuadrado perfecto, porque sino [math] sería irracional, y por lo tanto [math] también. Entonces, [math] y [math] son cuadrados, pero para [math], cualquier par de cuadrados consecutivos están separados por más de [math], para [math] el primer cuadrado está separado por [math] y el resto por más de [math], [math] cumple, pero eso significa que [math], que es claramente un absurdo, ya que [math]. El absurdo provino de suponer que [math] era racional, por lo tanto, [math] es irracional.
[math]

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Fran2001

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Re: Nacional 2005 Nivel 3 - Problema 3

Mensaje sin leer por Fran2001 » Mar 17 Oct, 2017 8:52 pm

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Primero notemos que si [math] es negativo entonces el lado izquierdo de la ecuación es negativo, pero como [math]; el lado derecho no lo es, lo que es absurdo. Por lo tanto [math]
Ahora, supongamos que [math] es racional
Sean [math] enteros tales que [math] es una fracción irreducible; es fácil ver que [math] e [math] son coprimos, y que [math]
Sea [math] el resto de [math] en la división por [math]; podemos escribir [math]
Claramente [math]
La ecuación inicial nos queda [math]
Despejando, [math]; por lo que [math]
Como [math] es coprimo con [math] y además [math]; también será coprimo con [math]; de donde [math] (ya que [math] es entero)
Entonces [math] si [math] y [math] para cualquier otro valor de [math]
Si [math] entonces [math]; lo que es absurdo
Si [math] entonces [math]; otra vez absurdo
Por lo tanto [math] es irracional
Ya le rimo la respuesta // que de la duda nos saca // el animal que usted dice // tiene por nombre la vaca
https://www.youtube.com/watch?v=7ydlVCj94x4

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