Nacional 2005 Nivel 3 - Problema 3

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Nacional 2005 Nivel 3 - Problema 3

UNREAD_POSTpor Franco Frizzo » Lun 01 Oct, 2012 5:14 pm

Sea $a$ un número real tal que $\frac{1}{a}=a-[a]$. Demostrar que $a$ es irracional.
Aclaración: los corchetes indican la parte entera del número que encierran.

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Re: Nacional 2005 Nivel 3 - Problema 3

UNREAD_POSTpor Franco Frizzo » Lun 01 Oct, 2012 5:16 pm

No estoy del todo convencido de esta solución, a ver si alguien tiene ganas de corregirla jajaja:
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Supongamos que $a$ es racional. Entonces podemos escribirlo como $a=k+\frac{p}{q}$, con $k$, $p$ y $q$ enteros, $p$ y $q$ coprimos, $q\neq0$ y $q\neq1$, donde $k$ es la parte entera de $a$ y $\frac{p}{q}$ su parte decimal. Luego, reemplazamos en $\frac{1}{a}=a-[a]$:
$\frac{q}{kq+p}=k+\frac{p}{q}-k \Rightarrow \frac{q}{kq+p}=\frac{p}{q} \Rightarrow q^2=kpq+p^2$.
De un lado de la ecuación tenemos a $q^2$, que es obviamente múltiplo de $q$. En el otro miembro, tenemos a $kpq$, que también es múltiplo de $q$, y a $p^2$, que no es múltiplo de $q$ porque $p$ y $q$ son coprimos. Luego $kpq+p^2$ no puede ser múltiplo de $q$, lo cual es absurdo.
Esto implica que $a$ no puede ser racional y, como es un número real, entonces debe ser irracional.

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Re: Nacional 2005 Nivel 3 - Problema 3

UNREAD_POSTpor Ivan » Lun 01 Oct, 2012 7:59 pm

Está casi perfecta la solución, la idea es esa :D

Un detalle. La parte decimal $a-[a]$ cumple $0\leq a-[a] <1$.

Si $a$ no es entero, la parte decimal no es $0$ y el argumento que hacés funciona bien.

Si $a$ es entero, la parte decimal es $0$, quedaría $p=0$ y no podrías hacer el mismo argumento. Igual este caso es fácil como $a=[a]$ queda $\frac{1}{a}=a-a=0$ que no puede ocurrir.
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)
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Re: Nacional 2005 Nivel 3 - Problema 3

UNREAD_POSTpor Franco Frizzo » Lun 01 Oct, 2012 8:30 pm

Gracias, y es verdad, no me di cuenta de aclarar ese detalle! Cuando lo estaba resolviendo se me ocurrió el caso y lo resolví pensando que si $p=0$ queda $q^2=0kq+0^2 \Rightarrow q^2=0$ y como $q\neq0$, también es absurdo. Después me olvidé totalmente de eso jaja.

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Re: Nacional 2005 Nivel 3 - Problema 3

UNREAD_POSTpor Martín Vacas Vignolo » Mié 03 Oct, 2012 6:46 pm

Un detalle, de rompe bolas nomás

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$p<q$
$1782^{12} + 1841^{12} = 1922^{12}$
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Re: Nacional 2005 Nivel 3 - Problema 3

UNREAD_POSTpor 3,14 » Lun 26 Sep, 2016 4:28 pm

Otra forma:
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$a^2-a[a] -1=0$
Podemos hacer baskara y obtenemos que:
$a=\frac {[a] \pm \sqrt {[a]^2+4}}{2}$
Notar que el término dentro de la raíz cuadrada es entero, y que $[a]$ es entero. Para que $a$ no sea irracional, entonces el término dentro de la raíz deberá ser un cuadrado perfecto (porque la raíz de un número entero es o bien entero o bien irracional). Pero eso significaría que hay dos cuadrados perfectos separados por una distancia de $4$, y es fácil comprobar que esto no es posible a no ser que $[a]=0$, lo que es claramente imposible. Entonces $a$ es irracional.
Última edición por 3,14 el Mar 01 Nov, 2016 7:31 am, editado 1 vez en total
$\pi=4\left (1-\frac {1}{3}+\frac {1}{5}-\frac {1}{7}+\frac {1}{9}-...\right )$
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Re: Nacional 2005 Nivel 3 - Problema 3

UNREAD_POSTpor Julian_Ferres » Lun 31 Oct, 2016 12:44 pm

@3,14 Creo que en la solución queda que $\lfloor a \rfloor =0$ en lugar de $a=0$

Igual de ahi es facil, porque te queda que $0 < a < 1$ y por lo tanto el lado izquierdo de la ecuación es mayor a $1$ y el de la izquierda es menor que $1$ estarías staría.
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Re: Nacional 2005 Nivel 3 - Problema 3

UNREAD_POSTpor 3,14 » Mar 01 Nov, 2016 7:32 am

Gracias, ahí lo edité! También se puede ver reemplazando en la última ecuación $[a]=0$, y te queda $a=1$, que no cumple.
$\pi=4\left (1-\frac {1}{3}+\frac {1}{5}-\frac {1}{7}+\frac {1}{9}-...\right )$

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Re: Nacional 2005 Nivel 3 - Problema 3

UNREAD_POSTpor Gianni De Rico » Dom 16 Jul, 2017 10:23 pm

Esencialmente es la misma idea que la de @3,14, pero se me ocurrió comiendo una pizza napolitana, así que la subo igual
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Trabajamos la ecuación y queda:
$a^2-a[a]-1=0$

Usamos la vieja y querida resolvente y queda:

$a=\frac{[a]\pm \sqrt{[a]^2+4}}{2}$

Supongamos que $a$ es racional, entonces $[a]^2+4$ es un cuadrado perfecto, porque sino $\sqrt{[a]^2+4}$ sería irracional, y por lo tanto $a$ también. Entonces, $[a]^2$ y $[a]^2+4$ son cuadrados, pero para $[a]\geq 2$, cualquier par de cuadrados consecutivos están separados por más de $4$, para $[a]=1$ el primer cuadrado está separado por $3$ y el resto por más de $4$, $[a]=0$ cumple, pero eso significa que $\frac 1a=a\Rightarrow a^2=1\Rightarrow a=1\Rightarrow [a]=1$, que es claramente un absurdo, ya que $[a]=0$. El absurdo provino de suponer que $a$ era racional, por lo tanto, $a$ es irracional.
$\phi=\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}$
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