Nacional 1996- P5 N3

[bruno]

Determinar todos los números reales positivos $x$ para los que se verifica$$\left [x\right ]+\left [\sqrt{1996x}\right ]=1996$$
Aclaración: Los corchetes indican la parte entera del número que encierran.

[Martín Vacas Vignolo]

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Notemos que si [math]x=762 nos quedamos cortos y si [math]x=763 nos pasamos. Además, si llamamos [math]f(x)=\left [ x \right ] + \left [ \sqrt{1996x} \right ], es fácil ver que [math]f es creciente. Luego [math]x está entre esos dos valores. Entonces todo se resume a [math]\left [ \sqrt{1996x} \right ] = 1234. Por lo tanto [math]\sqrt{1996x} = 1234 + \delta con [math]0 \leq \delta <1.
Entonces [math]\frac{1234^2}{1996} \leq x < \frac{1235^2}{1996} son los que funcionan.

[Matías V5]

No todos los [math]x que cumplan [math]\left [ \sqrt{1996x} \right ] = 1234 van a cumplir que [math][x] = 762. Si hacés la cuenta, [math]\frac{1234^2}{1996} = 762,9038... pero [math]\frac{1235^2}{1996} = 764,1407.... Así que en realidad los [math]x que son solución son los del intervalo [math]\left [ \frac{1234^2}{1996} , 763 \right ).

[Martín Vacas Vignolo]

Cierto, cierto. Me pasa por no hacer las cuentas

[Gianni De Rico]

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Misma idea y propiedades que acá
Vemos que con [math]x=\frac{1234^2}{1996}\approx 762,9 se cumple la igualdad. Claramente si [math]x es menor entonces la raíz será menor a [math]1234 y no se alcanzará la igualdad. Ahora, [math]f(x)=\lfloor x\rfloor +\lfloor \sqrt{1996x}\rfloor cambiará de valor al pasar por un entero o por un cuadrado perfecto dividido por [math]1996. Como [math]\frac{1235^2}{1996}\approx 764,14>763>\frac{1234^2}{1996}, resulta que el primer valor por el que pasará es [math]763

Finalmente:
[math]x=\left [\frac{1234^2}{1996};763\right )