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Nacional 2004 N1 P1
Publicado: Jue 18 Oct, 2012 6:03 pm
por tuvie
En un boliche hay $500$ personas. A partir de las $12\text{ hs}$, cada minuto se retira un grupo de personas: En el primer minuto se van todos los que no tienen ningun amigo entre los presentes; un minuto dspues se van todos los que tienen exactamente un amigo entre las personas aun presenntes; al siguiente minuto se van todos los que tienen exactamente dos amigos entre las personas aun presentes. Y asi sucesivamente, para $3,4,5,\ldots$ hasta que por ultimo se van todos los que tienen exactamente $499$ amigos entre las personas que todavia esten presentes. Determinar el maximo numero de personas que pueden quedar en el boliche $500$ minutos despues de las $12\text{ hs}$
Re: Nacional 2004 N1 P1
Publicado: Jue 18 Oct, 2012 9:37 pm
por lichafilloy
- Spoiler: mostrar
- -En principio, veamos que es imposible que [math]500 personas se queden luego de los [math]500 minutos, ya que siempre va a haber alguno con cantidad mínima de amigos que se ira antes.
- Luego supongamos que [math]499 personas pueden continuar en el boliche pasados los [math]500 minutos. Para ello, alguno de sus amigos debe irse antes, para modificar así su cantidad de amigos, ya que de no hacerlo, se irá en algún momento antes de los [math]500 minutos. Esto lo debe hacer el de menor cantidad de amigos, que se irá antes de los [math]500 minutos. Pero veamos que si este modifica las cantidades de amigos de todos los demás, es por que es amigo de todos (contradicción, ya no tendría la menor cantidad de amigos)
- Ahora veamos que si tenemos [math]498 personas amigas de todos y las restantes [math]2 personas amigas de todos pero no entre si, en el minuto [math]499 se irán estas [math]2 personas y las demás pasaran a tener [math]497 amigos, y como ya paso el minuto [math]498, se quedaran luego de los [math]500 minutos.
Entonces el máximo de personas que se podrá quedar luego de los [math]500 minutos es [math]498.
Re: Nacional 2004 N1 P1
Publicado: Jue 18 Oct, 2012 10:50 pm
por tuvie
Llegue al mismo resultado
lichafilloy escribió:- Spoiler: mostrar
- Ahora veamos que si tenemos [math]498 personas amigas de todos y las restantes [math]2 personas amigas de todos pero no entre si, en el minuto [math]499 se irán estas [math]2 personas y las demás pasaran a tener [math]497 amigos, y como ya paso el minuto [math]498, se quedaran luego de los [math]500 minutos.
El ejemplo que tiraste lo pense igual pero seria que en el minuto
[math]498 se van esas dos personas y las demas pasan a tener
[math]498 que ya paso.
Re: Nacional 2004 N1 P1
Publicado: Jue 18 Oct, 2012 11:11 pm
por lichafilloy
emm creo que no .. ba fijate que en el minuto [math]1 se van las personas que no tienen amigos .. entonces en el minuto [math]n se van a ir las personas con [math]n-1 amigos .. osea que las [math]2 personas amigas de [math]498 se van a ir en el minuto [math]499. Y después las otras pasan a tener [math]499-2=497 amigos.
Re: Nacional 2004 N1 P1
Publicado: Lun 22 Ene, 2024 4:01 pm
por Feli Mena
lichafilloy escribió: ↑Jue 18 Oct, 2012 9:37 pm
- Spoiler: mostrar
- -En principio, veamos que es imposible que $500$ personas se queden luego de los $500$ minutos, ya que siempre va a haber alguno con cantidad mínima de amigos que se ira antes.
- Luego supongamos que $499$ personas pueden continuar en el boliche pasados los $500$ minutos. Para ello, alguno de sus amigos debe irse antes, para modificar así su cantidad de amigos, ya que de no hacerlo, se irá en algún momento antes de los $500$ minutos. Esto lo debe hacer el de menor cantidad de amigos, que se irá antes de los $500$ minutos. Pero veamos que si este modifica las cantidades de amigos de todos los demás, es por que es amigo de todos (contradicción, ya no tendría la menor cantidad de amigos)
- Ahora veamos que si tenemos $498$ personas amigas de todos y las restantes $2$ personas amigas de todos pero no entre si, en el minuto $499$ se irán estas $2$ personas y las demás pasaran a tener $497$ amigos, y como ya paso el minuto $498$, se quedaran luego de los $500$ minutos.
Entonces el máximo de personas que se podrá quedar luego de los $500$ minutos es $498$.
Yo lo pense parecido, pero que de las 2 personas 1 solo fuera amiga de la otra y se vaya en el minuto 2, y el que se queda sea amigo de todo el resto y se retira cuando se van las personas que tienen 498 amigos, por ende el resto pasa a tener 498 amigos pero ese minuto ya paso por ende se quedan