Nacional OMA 2010 - Nivel 3 - Problema 5

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Caro - V3

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Nacional OMA 2010 - Nivel 3 - Problema 5

Mensaje sin leer por Caro - V3 » Dom 16 Ene, 2011 2:48 pm

Se escriben 21 números en una fila. Si [math] son tres números consecutivos entonces [math]. El primer número es [math], el último es [math]. Hallar el 15º número.
Guía de [math]: sirve para escribir ecuaciones como [math]

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Melanie
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Re: Nacional OMA 2010 - Nivel 3 - Problema 5

Mensaje sin leer por Melanie » Dom 16 Oct, 2011 1:13 pm

Vamos a escribir la sucesión desde el primer lugar al 21. Para ello, necesitamos obtener el término x+2 a partir del término x y x+1 (y no como lo tenemos ahora, que obtenemos el x+1 a partir del x+2 y el x). [math]. Los primeros términos de la secuencia son [math], [math], [math], [math],...

Vemos que los primeros términos tienen la pinta [math]. Además, como [math], podemos deducir que todos los términos que sigan serán de la misma pinta. Así, si el tercer término tiene i=1, el 21° término tendrá i=19. Además, sabíamos que el 21° término era 1/101. Por lo tanto:
[math]. De esta manera, el 15° término (que tiene i=13), será [math]

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Vladislao

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Re: Nacional OMA 2010 - Nivel 3 - Problema 5

Mensaje sin leer por Vladislao » Dom 16 Oct, 2011 2:05 pm

Spoiler: mostrar
Primero, notar que:

[math] es la media armónica de dos reales positivos [math] y [math].

Usaremos un hecho conocido:

[math], [math] y [math] están en progresión aritmética para todos [math] y [math].

La demostración es sencilla. Usando ésto es fácil notar que teniendo el primer y el último número, quedan todos determinados, y en particular el decimoquinto es [math]
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

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Ivan

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Re: Nacional OMA 2010 - Nivel 3 - Problema 5

Mensaje sin leer por Ivan » Dom 16 Oct, 2011 7:06 pm

Que linda solución :D Edité una cosa, decía [math].
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)

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Gianni De Rico

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Re: Nacional OMA 2010 - Nivel 3 - Problema 5

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Jue 05 Oct, 2017 11:47 pm

Spoiler: mostrar
Escribimos [math]
Sean [math] los términos de la fila. Entonces [math] y [math]

Tenemos:
[math]

También:
[math]

En base a estos resultados conjeturo [math]. Vamos a demostrar este resultado mediante inducción fuerte.
Es válido para [math], entonces supongamos que vale para algún [math] y todos los anteriores.

Resulta:
[math]

Por HI:
[math] y [math]

Reemplazando queda:
[math]

Entonces:
[math]

Por lo tanto:
[math]
Esto completa la inducción.

Evaluando en [math]:
[math]

Evaluando en [math]:
[math]

Finalmente, el [math] número es [math]
[math]

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