Nacional OMA 2010 - Nivel 3 - Problema 4

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Caro - V3

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Nacional OMA 2010 - Nivel 3 - Problema 4

Mensaje sin leer por Caro - V3 »

Hallar la suma de todos los productos [math], donde [math] son enteros positivos distintos, menores o iguales que 101, y tales que no haya dos de ellos que sumen 101.
Guía de [math]: sirve para escribir ecuaciones como [math]
mazzito
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Re: Nacional OMA 2010 - Nivel 3 - Problema 4

Mensaje sin leer por mazzito »

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Agrupamos los números de la forma:[math] y el [math] lo agrupamos con un [math]. Notemos que la suma de los dos números de cualquier paréntesis es igual a [math], entonces dentro de cada producto de los [math] va a ver a lo sumo un número por paréntesis. Ahora bien, vamos a demostrar por inducción que si se tienen los números [math] de donde hay que calcular lo que nos pide el enunciado(es equivalente a pensar que son las primeras 50 parejas del comienzo), luego esta suma va a ser igual a [math]. Para el caso base [math] es fácil ver que se cumple. Por Hipótesis Inductiva suponemos que pasa que [math], luego para [math] lo que hacemos es agregar al producto un [math]lo que hace que el [math] y el [math]estén en todas las combinaciones de los restantes [math] números, entonces se cumple lo que queremos. Volviendo a los números del comienzo, notemos que tenemos [math] parejas, las cuales aportan a lo sumo [math] número, y como necesitamos [math] por cada producto, va a ver exactamente una pareja que no va a aportar ningún numero. Sobre las [math] parejas que quedan sabemos que la suma de los productos que tomamos va a ser igual [math](aca estamos usando lo que demostramos por inducción), luego al dejar fuera una vez cara pareja la suma total es igual a [math]. Con lo que completamos la solución del problema.
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Fran5

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Re: Nacional OMA 2010 - Nivel 3 - Problema 4

Mensaje sin leer por Fran5 »

Chei, pregunta..
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no estás considerando al cero como uno de los numeros [math]??
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mazzito
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Re: Nacional OMA 2010 - Nivel 3 - Problema 4

Mensaje sin leer por mazzito »

Si, pero fijate que no cambia nada, porque si el [math] está en uno de los productos, luego éste es igual a [math] entonces no afecta a la suma final.
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Fran5

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Re: Nacional OMA 2010 - Nivel 3 - Problema 4

Mensaje sin leer por Fran5 »

Touche.. Tenes razon, es lo mismo :P
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Gianni De Rico

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Re: Nacional OMA 2010 - Nivel 3 - Problema 4

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

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Como los números no pueden sumar [math], solamente va poder estar en la suma uno de cada par [math], y el [math] va a poder estar siempre. Probando casos chicos con los primeros pares queda que la suma es:
[math]

[math]

En base a ello conjeturo que la suma de [math] pares [math] va a ser [math].
Demostramos esto por inducción:

Caso base: [math]
Los únicos dos productos posibles son [math] e [math], su suma es [math].

Supongamos que vale para [math], vamos a ver que vale para [math]. Tenemos [math]. Pero por HI [math] es la suma de los [math] pares. Al multiplicarlo por [math] tenemos todos los productos posibles con [math], de manera análoga ocurre con [math]. Entonces [math] es la suma de todos los posibles productos con [math] y todos los posibles productos con [math], es decir la suma de todos los posibles productos de los [math] pares. Esto completa la inducción.

Ahora, tenemos [math] pares y el [math], es decir, [math] posibles números para hacer la suma (el [math] es un par con sí mismo), como los números de cada par suman [math] la suma de [math] de esos pares es [math], y como además tenemos que elegir [math] pares de entre [math], la suma total es [math].

[math]
♪♫ do re mi función lineal ♪♫
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