Rectángulos (Nacional 2001 N3 P6)

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.

Rectángulos (Nacional 2001 N3 P6)

UNREAD_POSTpor Ivan » Sab 16 Oct, 2010 10:17 pm

Dado un rectángulo $\mathcal{R}$ de área $100000$, Pancho debe cubrir completamente el rectángulo $\mathcal{R}$ con una cantidad finita de rectángulos de lados paralelos a los lados de $\mathcal{R}$. A continuación, Martín colorea de rojo algunos rectángulos del cubrimiento de Pancho de modo que no haya dos rectángulos rojos que tengan puntos interiores en común. Si el área roja es mayor que $0,00001$ gana Martín. En caso contrario, gana Pancho. Demostrar que Pancho puede realizar el cubrimiento para asegurarse la victoria.
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)
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Re: Rectángulos (Nacional 2001 N3 P6)

UNREAD_POSTpor Gianni De Rico » Lun 07 Ago, 2017 11:44 pm

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Voy a demostrar que Pancho puede ganar sea cual sea el máximo valor posible del área roja, siempre que no sea $0$. Para eso notemos que Pancho siempre puede plantearse su objetivo como "Dado un rectángulo de área $10^n$, reducirlo a un área roja menor a $10^{n-k}$, con $n,k\in \mathbb N$.", en este caso $n=5$ y $k=10$.

El procedimiento de Pancho es el siguiente: Elige un rectángulo de igual altura que $\mathcal{R}$ y calcula su base para que que tenga un área $A<10^{n-k-1}$, y lo coloca con su centro sobre el centro de $\mathcal{R}$. Luego aumenta, siempre el mismo valor, la base del rectángulo (al aumentar siempre en el mismo valor, como la base $B$ de $\mathcal{R}$ y la base $b$ del primer rectángulo que dibujó Pancho son finitas y $b<B$, nos aseguramos de que el proceso eventualmente terminará) y calcula su altura de forma que su área se mantenga constante, y coloca este nuevo rectángulo con su centro sobre el centro de $\mathcal{R}$. Continúa haciendo esto hasta que eventualmente llegará a un rectángulo con base $b=B$ (si en algún momento la diferencia $B-b$ fuese menor que el número en el que Pancho está aumentando $b$, simplemente aumenta en $B-b$ para llegar a $b=B$). Luego de esto, el rectángulo se verá algo así:
Nacional 2001 N3 P6 (1).png


Ahora miremos el cuadrante superior izquierdo de $\mathcal{R}$, que nos quedó así:
Nacional 2001 N3 P6 (2).png

Como todos los rectángulos del procedimiento pasaban por el centro de $\mathcal{R}$, resulta que todos pasarán por el vértice inferior derecho de este cuadrante, y como ninguno era una línea (todos tienen área mayor a $0$), entonces tienen puntos interiores en común, y por lo tanto, Martín sólo podrá pintar uno de ellos de rojo, repetimos este recubrimiento sobre la otra mitad del cuadrante, entonces martín sólo puede pintar dos de los rectángulos de rojo.

Entonces finalmente el recubrimiento que hace Pancho sobre $\mathcal{R}$ es el último que explicamos para el cuadrante (notar que la relación entre las áreas se mantuvo, ya que a todas las dividimos por $4$), por lo tanto, como todos los rectángulos de Pancho tenían un área $A<10^{n-k-1}$, y Martín sólo puede pintar dos de ellos, resulta que el área roja será $2A<2\times 10^{n-k-1}<10^{n-k}$. De forma que Pancho siempre puede asegurarse ganar sin importar el valor de $n$ y $k$.
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Última edición por Gianni De Rico el Mar 08 Ago, 2017 9:30 pm, editado 1 vez en total
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Re: Rectángulos (Nacional 2001 N3 P6)

UNREAD_POSTpor lucasdeamorin » Mar 08 Ago, 2017 1:19 pm

Gianni De Rico escribió:
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El procedimiento de Pancho es el siguiente: Elige un rectángulo de igual altura que $\mathcal{R}$ y calcula su base para que que tenga un área $A<10^{n-k-1}$, y lo coloca con su centro sobre el centro de $\mathcal{R}$. Luego disminuye apenas la altura del rectángulo y calcula su base de forma que su área se mantenga constante y coloca este nuevo rectángulo con su centro sobre el centro de $\mathcal{R}$. Continúa haciendo esto hasta que eventualmente llegará a un rectángulo del mismo ancho que $\mathcal{R}$.

Como te aseguras de que sean finitos rectángulos?
Si X tiende a $\infty$, $\infty$ se seca.

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Re: Rectángulos (Nacional 2001 N3 P6)

UNREAD_POSTpor Gianni De Rico » Mar 08 Ago, 2017 2:49 pm

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Como el área de $\mathcal{R}$ es finita, la medida $B$ de su base también lo es, luego, aumentando la base $b$ de cada uno de los rectángulos que dibuja Pancho estamos aumentando un número menor que $B$, por lo que eventualmente llegaremos a $b=B$, y el proceso termina.
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Re: Rectángulos (Nacional 2001 N3 P6)

UNREAD_POSTpor lucasdeamorin » Mar 08 Ago, 2017 3:11 pm

Gianni De Rico escribió:
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Como el área de $\mathcal{R}$ es finita, la medida $B$ de su base también lo es, luego, aumentando la base $b$ de cada uno de los rectángulos que dibuja Pancho estamos aumentando un número menor que $B$, por lo que eventualmente llegaremos a $b=B$, y el proceso termina.

Es mentira eso:
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Si $B=2$, si aumentas $\frac{1}{2^n}$ en el n-esimo paso, necesitas infinitos pasos para llegar a dos.
Si X tiende a $\infty$, $\infty$ se seca.

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Re: Rectángulos (Nacional 2001 N3 P6)

UNREAD_POSTpor Gianni De Rico » Mar 08 Ago, 2017 3:21 pm

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No hay necesidad de eso, se puede aumentar en un valor constante, no tiene que estar en función del número de pasos.
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Re: Rectángulos (Nacional 2001 N3 P6)

UNREAD_POSTpor lucasdeamorin » Mar 08 Ago, 2017 8:10 pm

Gianni De Rico escribió:
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No hay necesidad de eso, se puede aumentar en un valor constante, no tiene que estar en función del número de pasos.

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¿Tu solución lo dice? ¿Tu solución prueba que llenas todo el tablero con una cantidad finita de rectángulos?
Si X tiende a $\infty$, $\infty$ se seca.

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Re: Rectángulos (Nacional 2001 N3 P6)

UNREAD_POSTpor Gianni De Rico » Mar 08 Ago, 2017 9:31 pm

Tenés razón, me había olvidado de aclarar eso en la solución.
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