Sel Ibero 1993 Problema 2

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Prillo

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Sel Ibero 1993 Problema 2

Mensaje sin leer por Prillo » Jue 17 Ene, 2013 5:53 pm

Se consideran todas las ternas de números reales positivos que verifican [math].
a. Describir el conjunto de todos los valores que toma [math].
b. Describir el conjunto de todos los valores que toma [math].
Justificar la respuesta.

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Fran5

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Re: Sel Ibero 1993 Problema 2

Mensaje sin leer por Fran5 » Mar 25 Mar, 2014 12:08 pm

Spoiler: mostrar
Sean
[math]
[math]
[math]
[math]

Principalmente lo hago para agilizar la notación

Por AM-GM vemos que

[math]

Luego [math]
Como [math] son positivos, tenemos que [math] también lo es, además de que es posible alcanzar un valor menor a [math] (con el ejemplo de usuario250)
[math] y además [math]

Ahora, [math], y por AM-GM [math] (queda como ejercicio (? )

Luego, [math]

Y vemos que [math] no tiene cota superior, pues poniendo [math] es posible definir [math] de la forma

[math]

Y su discriminante es [math]
Donde, si [math] se tiene que [math] es no-negativo para todo [math]

Por último, el valor máximo de [math] y el valor mínimo de [math] se obtienen con valores iguales de [math] siendo [math] y [math] respectivamente


En resumen, tenemos que

[math]
[math]
Última edición por Fran5 el Mié 26 Mar, 2014 1:17 pm, editado 5 veces en total.
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usuario250

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Re: Sel Ibero 1993 Problema 2

Mensaje sin leer por usuario250 » Mié 26 Mar, 2014 10:24 am

Spoiler: mostrar
Te falta justificar que 0 es el ínfimo de b (es decir que es la mayor de las cotas inferiores). Eso se puede comprobar tomando x=e, y=1, z=(1-e)/(1+e). en este caso xy + xz + yz =1 y xyz<e, por lo que tomando e pequeño se tiene que b puede tomar valores tan cercanos a 0 como quieras.
Lo mismo para el supremo de b y el infimo de c.

maguas
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Re: Sel Ibero 1993 Problema 2

Mensaje sin leer por maguas » Vie 11 Ene, 2019 1:24 pm

Hola Fran5 creo que hay un error en tu solución,
en esta parte
Fran5 escribió:
Mar 25 Mar, 2014 12:08 pm


Ahora, $c^2 = d+2a$, y por AM-GM $d \geq a$ (queda como ejercicio (? )

Luego, $c^2= d + 2a\geq \frac{1}{3}+ \frac{2}{3} \geq 1$
$(x+y+z)^2 \geq3(xy+yz+zx) \geq {3}$
entonces $(x+y+z) \geq \sqrt{3}$

por otra parte no veo por que esto
Fran5 escribió:
Mar 25 Mar, 2014 12:08 pm
$c$ no tiene cota superior, pues poniendo $x=c-2e;y=z=e$ es posible definir $e>0$ de la forma

$2(c-2e)e+e^2=p \Rightarrow 3e^2-2ce+p=0 \Rightarrow e=\frac{2c+\sqrt{\Delta}}{6}$

Y su discriminante es $\Delta = 4c^2-12p$
Donde, si $p = \frac{1}{3}$ se tiene que $\Delta$ es no-negativo para todo $c \geq 1$
implica que $c$ no tiene cota superior
Agradezco a quienes me puedan absolver las dudas.

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Gianni De Rico

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Re: Sel Ibero 1993 Problema 2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Vie 11 Ene, 2019 6:01 pm

maguas escribió:
Vie 11 Ene, 2019 1:24 pm
$(x+y+z)^2 \geq3(xy+yz+zx) \geq {3}$
entonces $(x+y+z) \geq \sqrt{3}$
Ojo, fijate que por el enunciado $xy+yz+zx\geqslant \frac{1}{3}$ es decir que tu desigualdad resulta $(x+y+z)^2\geqslant 3(xy+yz+zx)\geqslant 3\cdot \frac{1}{3}=1$, y poniendo $x=y=z=\frac{1}{3}$ tenés $x+y+z=1$ y $xy+yz+zx=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{3}$
maguas escribió:
Vie 11 Ene, 2019 1:24 pm
por otra parte no veo por que esto
Fran5 escribió:
Mar 25 Mar, 2014 12:08 pm
$c$ no tiene cota superior, pues poniendo $x=c-2e;y=z=e$ es posible definir $e>0$ de la forma

$2(c-2e)e+e^2=p \Rightarrow 3e^2-2ce+p=0 \Rightarrow e=\frac{2c+\sqrt{\Delta}}{6}$

Y su discriminante es $\Delta = 4c^2-12p$
Donde, si $p = \frac{1}{3}$ se tiene que $\Delta$ es no-negativo para todo $c \geq 1$
implica que $c$ no tiene cota superior
Fijate que con los valores que él le da a $x,y,z$ tenés $xy+yz+zx=(c-2e)e+e^2+(c-2e)e=2(c-2e)e+e^2=p$, es decir que $\frac{1}{3}\leqslant p\leqslant 3$, porque $p$ es la cuenta que nos da el enunciado. De ahí despeja una fórmula para $e$, entonces lo que dice básicamente es que podemos poner $e$ tan grande como queramos (y de la fórmula se deduce que cuanto más grande sea $e$, también lo será $c$), dejando fijo $p=\frac{1}{3}$ (que es un valor permitido) y yendo para atrás despejar $c$ (porque $p=\frac{1}{3}$ y $e$ tiene un valor fijo que nosotros le asignamos) y así obtener un $c$ tan grande como quiera.
Algunos ejemplos para que se entienda mejor:
Poniendo $e=1$ te queda $\frac{1}{3}=p=2(c-2e)e+e^2=2(c-2\cdot 1)\cdot 1+1^2=2c-4-1=2c-3$, de donde $c=\frac{5}{3}\approx 1,67$.
Poniendo $e=37$ te queda $\frac{1}{3}=p=2(c-2e)e+e^2=2(c-2\cdot 37)\cdot 37+37^2=74c-4107$, de donde $c=\frac{6161}{111}\approx 55,5$
Poniendo $e=12345$ te queda $\frac{1}{3}=p=2(c-2e)e+e^2=2(c-2\cdot 12345)\cdot 12345+12345^2=24690c-457197075$, de donde $c=\frac{685795613}{37035}\approx 18517,5$
[math]

maguas
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Re: Sel Ibero 1993 Problema 2

Mensaje sin leer por maguas » Vie 11 Ene, 2019 8:00 pm

Gracias Gianni,
había visto $xy+yz+zx⩾1$ ( me estoy quedando ciego)
con respecto a la segunda pregunta me quedo todo claro.
Gracias nuevamente.

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Gianni De Rico

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Re: Sel Ibero 1993 Problema 2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 12 Ene, 2019 1:35 am

De nada, para eso es el foro :D
[math]

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