34 T. I. de las Ciudades Primavera 2012 N Mayor Problema 6

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Nacho

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34 T. I. de las Ciudades Primavera 2012 N Mayor Problema 6

Mensaje sin leer por Nacho »

Se tienen cinco números reales positivos distintos. Se sabe que la suma total de los cuadrados de estos números es igual a la suma de diez productos de pares de esos mismos números.

a) Demostrar que podemos elegir tres números reales tales que no sea posible construir un triángulo con las longitudes de sus lados iguales a esos tres números. (4 puntos)

b) Demostrar que la cantidad de tales conjuntos de tres números es por lo menos seis (los conjuntos de tres números que tienen los mismos números en otro orden se consideran el mismo conjunto). (5 puntos)
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Turko Arias

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Re: 34 T. I. de las Ciudades Primavera 2012 N Mayor Problema

Mensaje sin leer por Turko Arias »

Pongo la parte [math] porque me tengo que ir rapidin, después subo lo que hice en la parte [math] porque era un poco más largo.
Spoiler: mostrar
Sean [math], [math], [math], [math], [math] nuestros números, sin pérdida de generalidad podemos asumir que [math].
Vamos a escribir la igualdad que nos da el enunciado:
[math]
Vamos a proceder por el absurdo, supongamos que sea imposible elegir [math] números tales que sea imposible formar un triángulo con lados con longitudes iguales a esos [math] números, por lo tanto para cualquier trío de números que tome voy a poder formar un triángulo con ellos. ¿Qué implica que se pueda formar un triángulo con esos tres números? Que si mis números elegidos son [math], [math] y [math] se tiene que cumplir indefectiblemente que:
[math]
[math]
[math]
Entonces considerando nuestros [math] números, podemos decir que:
[math]
[math]
[math]
Multiplicamos por [math] la primera desigualdad, y nos queda:
[math]
Multiplicamos por [math] la segunda desigualdad, y nos queda:
[math]
Multiplicamos por [math] la tercera desigualdad, y nos queda:
[math]
Las sumamos y nos queda:
[math]
de donde se concluye que:
[math]
Que claramente no pasa, porque habíamos asumido que [math], por lo tanto [math], del mismo modo como habíamos asumido que [math] entonces [math], de donde concluímos que es imposible que suceda lo anterior, por ende alguna de nuestras tres desigualdades de las que partimos no es cierta, por lo tanto hay por lo menos un trío de números con los que no se puede formar un triángulo.
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