Provincial\Urbana 2007 N3 P1

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
ktc123

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Provincial\Urbana 2007 N3 P1

Mensaje sin leer por ktc123 » Dom 07 Abr, 2013 5:14 pm

Calcular el valor de la expresión
[math]
donde se han multiplicado las [math] fracciones de la forma [math] para todos los enteros [math] desde [math] hasta [math] inclusive.
Última edición por ktc123 el Dom 07 Abr, 2013 11:26 pm, editado 1 vez en total.
¨Todos somos muy ignorantes. Lo que ocurre es que no todos ignoramos las mismas cosas¨

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Ivan

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Re: Provincial\Urbana 2007 N3 P1

Mensaje sin leer por Ivan » Dom 07 Abr, 2013 6:53 pm

¿Seguro que es
[math]
y no
[math]
?

Pregunto porque en la página de OMA no se ve muy bien cual es la cuenta.
Creo que encontrar una expresión razonable para el producto así como está no se puede.
Sin embargo el problema cambiando eso tiene una respuesta linda :P
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)

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Javiermov
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Re: Provincial\Urbana 2007 N3 P1

Mensaje sin leer por Javiermov » Dom 07 Abr, 2013 8:19 pm

Si el número es el que dice Ivan a mi me dio 1111/20000 ¿Puede ser? Lo hice un poco apurado pero la idea es básicamente que vas simplificando las fracciones y te van a quedar multiplicando por 1 (con un poco de cuentas vas a a saber a lo que me refiero)

ktc123

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Re: Provincial\Urbana 2007 N3 P1

Mensaje sin leer por ktc123 » Dom 07 Abr, 2013 11:25 pm

A simple vista me pareció ser un [math] pero cuando lo empezé a hacer se me complicó encontrar una forma compacta por eso lo subí. Entonces seguro que debe ser un [math]. Ahora edito el enunciado
¨Todos somos muy ignorantes. Lo que ocurre es que no todos ignoramos las mismas cosas¨

ktc123

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Re: Provincial\Urbana 2007 N3 P1

Mensaje sin leer por ktc123 » Lun 08 Abr, 2013 12:19 am

Con enunciado nuevo acá va la solución
Spoiler: mostrar
Notemos que

[math]

Si analizamos al numerador tenemos que:

[math]

Si anaizamos al denominador tenemos que:

[math]

Juntando ambas expresiones resulta que:

[math]
¨Todos somos muy ignorantes. Lo que ocurre es que no todos ignoramos las mismas cosas¨

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Guty
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Re: Provincial\Urbana 2007 N3 P1

Mensaje sin leer por Guty » Jue 23 Ene, 2014 1:51 am

Spoiler: mostrar
Si llamamos [math] Entonces, es claro que el problema equivale a calcular [math]

Probando los primeros casitos, conjeturamos que [math], pues [math], y de la misma forma [math]

Hagamos inducción en [math]. Supongamos que vale hasta un cierto [math]. Quisiésemos probar que [math].

Es claro que [math], por hipótesis inductiva sebemos cuánto vale [math], entonces:

[math]

Que es lo que queríamos probar. Luego [math]
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Gianni De Rico

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Re: Provincial\Urbana 2007 N3 P1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mié 23 Ago, 2017 10:36 am

Spoiler: mostrar
Notemos que [math].

Entonces la expresión resulta:
[math]

En el primer productorio, cada numerador se cancela con el denominador de la fracción siguiente. Por lo tanto, el único numerador que queda sin cancelar es el último, [math]; y el único denominador que queda sin cancelar es el primero, [math]. De forma que podemos escribir al primer productorio como [math].
Haciendo un análisis similar para el segundo productorio, el único numerador que no se cancela es el primero, [math]; y el único denominador que no se cancela es el último, [math]. De forma que podemos escribir este productorio como [math].

Nos queda:
[math]
Queda Elegantemente Demostrado

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