Provincial\Urbana 2007 N3 P1

[ktc123]

Calcular el valor de la expresión$$A=\left (1-\frac{1}{2^2}\right )\left (1-\frac{1}{3^2}\right )\cdots \left (1-\frac{1}{100^2}\right )$$donde se han multiplicado las $99$ fracciones de la forma $\left (1-\frac{1}{k^2}\right )$ para todos los enteros $k$ desde $2$ hasta $100$ inclusive.

[Ivan]

¿Seguro que es

[math]A=\left(1-\frac{1}{2^3}\right)\left(1-\frac{1}{3^3}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{100^3}\right)

y no

[math]A=\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{100^2}\right)

?

Pregunto porque en la página de OMA no se ve muy bien cual es la cuenta.
Creo que encontrar una expresión razonable para el producto así como está no se puede.
Sin embargo el problema cambiando eso tiene una respuesta linda

[Javiermov]

Si el número es el que dice Ivan a mi me dio 1111/20000 ¿Puede ser? Lo hice un poco apurado pero la idea es básicamente que vas simplificando las fracciones y te van a quedar multiplicando por 1 (con un poco de cuentas vas a a saber a lo que me refiero)

[ktc123]

A simple vista me pareció ser un [math]3 pero cuando lo empezé a hacer se me complicó encontrar una forma compacta por eso lo subí. Entonces seguro que debe ser un [math]2. Ahora edito el enunciado

[ktc123]

Con enunciado nuevo acá va la solución

Spoiler: mostrar

Notemos que

[math]1-\frac{1}{k^2}=\frac{k^{2}-1}{k^2}=\frac{(k-1)(k+1)}{k^2}

Si analizamos al numerador tenemos que:

[math]\prod_{k=2}^{100}(k-1)(k+1)=\prod_{k=2}^{100}(k-1)\prod_{k=2}^{100}(k+1)=(99!)(\frac{1}{2}\cdot 101!)=\frac{1}{2}\cdot 99!\cdot 100!\cdot 101

Si anaizamos al denominador tenemos que:

[math]\prod_{k=2}^{100}k^{2}=2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 4^{2}\cdots 100^{2}=(2\cdot 3\cdot 4\cdots 100)^2=(100!)^{2}=100!\cdot 99!\cdot 100

Juntando ambas expresiones resulta que:

[math]A=\frac{\frac{1}{2}\cdot 99!\cdot 100!\cdot 101}{100!\cdot 99!\cdot 100}=\frac{\frac{1}{2}\cdot 101}{100}=\frac{101}{200}=0,505

[Guty]

Spoiler: mostrar

Si llamamos [math]A_j = \prod_{j=2}^{k} 1 - \frac{1}{j^2} Entonces, es claro que el problema equivale a calcular [math]A_{100}

Probando los primeros casitos, conjeturamos que [math]A_k = \frac{k+1}{2k}, pues [math]A_2 = \frac{3}{4}, y de la misma forma [math]A_3 = \frac{2}{3} = \frac{4}{6}

Hagamos inducción en [math]k. Supongamos que vale hasta un cierto [math]k. Quisiésemos probar que [math]A_{k+1} = \frac{k+2}{2(k+1)}.

Es claro que [math]A_{k+1} = A_k \left (1 - \frac{1}{(k+1)^2} \right), por hipótesis inductiva sebemos cuánto vale [math]A_k, entonces:

[math]{\centering{}A_{k+1} = \frac{k+1}{2k} \cdot \left ( 1 - \frac{1}{(k+1)^2}\right) = \frac{k+1}{2k} - \frac{1}{2k(k+1)} = \frac{(k+1)^2 - 1}{2k(k+1)} = \frac{(k+2)k}{2k(k+1)} = \frac{k+2}{2(k+1)}}

Que es lo que queríamos probar. Luego [math]A_{100} = \frac{101}{200} = 0,505

[drynshock]

Spoiler: mostrar

$\frac{(2-1)(2+1)}{2^2} . \frac{(3-1)(3+1)}{3^2} . \frac{(4-1)(4+1)}{4^2} . ... . \frac{(100-1)(100+1)}{100^2}$

$\frac{1.3}{2^2} . \frac{2.4}{3^2} . \frac{3.5}{4^2} . ... . \frac{99.101}{100^2}$

Fíjense bien que se puede simplificar prácticamente todo:
$\frac{1}{2} . \frac{1}{1} . \frac{1}{1} . ... . \frac{101}{100}$

$\frac{1}{2} . \frac{101}{100}$

$S = \frac{101}{200}$

[biank]

Spoiler: mostrar

Primero notemos que $$
1 - \frac{1}{k^2} = \frac{k^2 - 1}{k^2} = \frac{(k + 1)(k - 1)}{k^2} = \frac{k + 1}{k} \cdot \frac{k - 1}{k}
$$ Por lo que $$
A = \prod_{k=2}^{100} 1 - \frac{1}{k^2} = \prod_{k=2}^{100} \frac{k + 1}{k} \cdot \prod_{k=2}^{100} \frac{k - 1}{k}
$$ Veamos que en ambos productos son series telescópicas, en particular: $$
\prod_{k=2}^{100} \frac{k + 1}{k} = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \dots \cdot \frac{101}{100} = \frac{101}{2} \\
\prod_{k=2}^{100} \frac{k - 1}{k} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \dots \cdot \frac{99}{100} = \frac{1}{100}
$$ Entonces $$
A = \frac{101}{2} \cdot \frac{1}{100} = \frac{101}{200} \quad \blacksquare$$