Provincial\Urbana 2007 N3 P1

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
ktc123

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Provincial\Urbana 2007 N3 P1

Mensaje sin leer por ktc123 »

Calcular el valor de la expresión$$A=\left (1-\frac{1}{2^2}\right )\left (1-\frac{1}{3^2}\right )\cdots \left (1-\frac{1}{100^2}\right )$$donde se han multiplicado las $99$ fracciones de la forma $\left (1-\frac{1}{k^2}\right )$ para todos los enteros $k$ desde $2$ hasta $100$ inclusive.
Última edición por ktc123 el Dom 07 Abr, 2013 11:26 pm, editado 1 vez en total.
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Ivan

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Re: Provincial\Urbana 2007 N3 P1

Mensaje sin leer por Ivan »

¿Seguro que es
[math]
y no
[math]
?

Pregunto porque en la página de OMA no se ve muy bien cual es la cuenta.
Creo que encontrar una expresión razonable para el producto así como está no se puede.
Sin embargo el problema cambiando eso tiene una respuesta linda :P
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)
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Javiermov
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Re: Provincial\Urbana 2007 N3 P1

Mensaje sin leer por Javiermov »

Si el número es el que dice Ivan a mi me dio 1111/20000 ¿Puede ser? Lo hice un poco apurado pero la idea es básicamente que vas simplificando las fracciones y te van a quedar multiplicando por 1 (con un poco de cuentas vas a a saber a lo que me refiero)
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Re: Provincial\Urbana 2007 N3 P1

Mensaje sin leer por ktc123 »

A simple vista me pareció ser un [math] pero cuando lo empezé a hacer se me complicó encontrar una forma compacta por eso lo subí. Entonces seguro que debe ser un [math]. Ahora edito el enunciado
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Re: Provincial\Urbana 2007 N3 P1

Mensaje sin leer por ktc123 »

Con enunciado nuevo acá va la solución
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Notemos que

[math]

Si analizamos al numerador tenemos que:

[math]

Si anaizamos al denominador tenemos que:

[math]

Juntando ambas expresiones resulta que:

[math]
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Guty
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Re: Provincial\Urbana 2007 N3 P1

Mensaje sin leer por Guty »

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Si llamamos [math] Entonces, es claro que el problema equivale a calcular [math]

Probando los primeros casitos, conjeturamos que [math], pues [math], y de la misma forma [math]

Hagamos inducción en [math]. Supongamos que vale hasta un cierto [math]. Quisiésemos probar que [math].

Es claro que [math], por hipótesis inductiva sebemos cuánto vale [math], entonces:

[math]

Que es lo que queríamos probar. Luego [math]
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drynshock

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Re: Provincial\Urbana 2007 N3 P1

Mensaje sin leer por drynshock »

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$\frac{(2-1)(2+1)}{2^2} . \frac{(3-1)(3+1)}{3^2} . \frac{(4-1)(4+1)}{4^2} . ... . \frac{(100-1)(100+1)}{100^2}$

$\frac{1.3}{2^2} . \frac{2.4}{3^2} . \frac{3.5}{4^2} . ... . \frac{99.101}{100^2}$

Fíjense bien que se puede simplificar prácticamente todo:
$\frac{1}{2} . \frac{1}{1} . \frac{1}{1} . ... . \frac{101}{100}$

$\frac{1}{2} . \frac{101}{100}$

$S = \frac{101}{200}$
@Bauti.md ig // Ridin' in a getaway car // $\zeta (s) =\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}$
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