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Provincial\Urbana 2007 N3 P1

Publicado: Dom 07 Abr, 2013 5:14 pm
por ktc123
Calcular el valor de la expresión
[math]
donde se han multiplicado las [math] fracciones de la forma [math] para todos los enteros [math] desde [math] hasta [math] inclusive.

Re: Provincial\Urbana 2007 N3 P1

Publicado: Dom 07 Abr, 2013 6:53 pm
por Ivan
¿Seguro que es
[math]
y no
[math]
?

Pregunto porque en la página de OMA no se ve muy bien cual es la cuenta.
Creo que encontrar una expresión razonable para el producto así como está no se puede.
Sin embargo el problema cambiando eso tiene una respuesta linda :P

Re: Provincial\Urbana 2007 N3 P1

Publicado: Dom 07 Abr, 2013 8:19 pm
por Javiermov
Si el número es el que dice Ivan a mi me dio 1111/20000 ¿Puede ser? Lo hice un poco apurado pero la idea es básicamente que vas simplificando las fracciones y te van a quedar multiplicando por 1 (con un poco de cuentas vas a a saber a lo que me refiero)

Re: Provincial\Urbana 2007 N3 P1

Publicado: Dom 07 Abr, 2013 11:25 pm
por ktc123
A simple vista me pareció ser un [math] pero cuando lo empezé a hacer se me complicó encontrar una forma compacta por eso lo subí. Entonces seguro que debe ser un [math]. Ahora edito el enunciado

Re: Provincial\Urbana 2007 N3 P1

Publicado: Lun 08 Abr, 2013 12:19 am
por ktc123
Con enunciado nuevo acá va la solución
Spoiler: mostrar
Notemos que

[math]

Si analizamos al numerador tenemos que:

[math]

Si anaizamos al denominador tenemos que:

[math]

Juntando ambas expresiones resulta que:

[math]

Re: Provincial\Urbana 2007 N3 P1

Publicado: Jue 23 Ene, 2014 1:51 am
por Guty
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Si llamamos [math] Entonces, es claro que el problema equivale a calcular [math]

Probando los primeros casitos, conjeturamos que [math], pues [math], y de la misma forma [math]

Hagamos inducción en [math]. Supongamos que vale hasta un cierto [math]. Quisiésemos probar que [math].

Es claro que [math], por hipótesis inductiva sebemos cuánto vale [math], entonces:

[math]

Que es lo que queríamos probar. Luego [math]

Re: Provincial\Urbana 2007 N3 P1

Publicado: Mié 23 Ago, 2017 10:36 am
por Gianni De Rico
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Notemos que [math].

Entonces la expresión resulta:
[math]

En el primer productorio, cada numerador se cancela con el denominador de la fracción siguiente. Por lo tanto, el único numerador que queda sin cancelar es el último, [math]; y el único denominador que queda sin cancelar es el primero, [math]. De forma que podemos escribir al primer productorio como [math].
Haciendo un análisis similar para el segundo productorio, el único numerador que no se cancela es el primero, [math]; y el único denominador que no se cancela es el último, [math]. De forma que podemos escribir este productorio como [math].

Nos queda:
[math]