Regional 1997 N3 P1

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
gabychango
Mensajes: 3
Registrado: Sab 29 Jun, 2013 1:07 pm
Nivel: 3

Regional 1997 N3 P1

Mensaje sin leer por gabychango » Mié 03 Jul, 2013 8:28 pm

Hallar todos los numeros naturales [math] tales que [math] es un numero primo.
ACLARACION: Los corchetes indican la parte entera del numero que encierran.
Por ejemplo, [math], [math]

Avatar de Usuario
Ivan

Colaborador
Mensajes: 999
Registrado: Vie 15 Oct, 2010 7:18 pm
Medallas: 1
Nivel: Exolímpico

Re: Regional 1997 N3 P1

Mensaje sin leer por Ivan » Mié 03 Jul, 2013 8:43 pm

Spoiler: mostrar
Escribamos [math], con [math].
Tenemos
[math]
Luego
[math]
Ahora separamos en casos según el valor de [math]:
  • Caso r=0:
    Tenemos que [math] y la única solución es [math] (o sea [math]).
  • Caso r=1:
    Tenemos que [math] y la única solución es [math] (o sea [math]).
  • Caso r=2:
    Tenemos que [math] y el único valor de [math] que podría andar es [math], que no funciona.
  • Caso r=3:
    Tenemos que [math] el único valor de [math] que podría andar es [math], pero no funciona.
  • Caso r=4:
    Tenemos que [math] y la única solución es [math] (o sea [math]).
Entonces las únicas soluciones son [math], [math] y [math].
Guía de $\LaTeX$ (sirve para escribir ecuaciones como $2^{3\times 2}+1=13\cdot 5$)

mredigonda
Mensajes: 3
Registrado: Dom 03 Sep, 2017 3:06 pm

Re: Regional 1997 N3 P1

Mensaje sin leer por mredigonda » Dom 03 Sep, 2017 4:10 pm

Spoiler: mostrar
Los únicos restos posibles de [math] en la división por [math] son [math], [math] y [math].
Tenemos que:
[math]

Veamos el caso en que [math], esto implica que [math] ya que [math] es primo y por lo tanto existe inverso. Por lo tanto podemos decir que
[math]

Nuestro objetivo era obtener [math] primo, la única forma es si [math]. Con esto obtenemos el primer caso, [math].
Ahora veamos el caso [math] entonces [math]. Este valor es primo sii:
[math]

Esto nos da otras dos soluciones: [math] y [math].
Por último, si [math] entonces [math]. Este valor es primo sii:
[math]

Con esto determinamos que no hay soluciones con [math].
Por lo tanto, las únicas soluciones son [math], [math] y [math].
4  

Responder