Selectivo 51° IMO 2010 - Problema 3

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Caro - V3

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Selectivo 51° IMO 2010 - Problema 3

Mensaje sin leer por Caro - V3 » Mié 02 Feb, 2011 8:52 pm

Hallar todas las funciones [math] de los reales en los reales tales que
[math]
para todos [math] reales.
Guía de [math]: sirve para escribir ecuaciones como [math]

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ésta

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Re: Selectivo 51° IMO 2010 - Problema 3

Mensaje sin leer por ésta » Mié 09 Feb, 2011 7:16 pm

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Veamos que [math] no puede ser constante, es decir [math] con [math] fijo para todo [math] real.
Supongamos que sí, reemplazamos [math] y queda,
[math].
Pero [math], absurdo.
Entonces [math] no es constante.

Reemplazando por [math],
[math].
Pero si [math], podemos pasar el segundo factor dividiendo y restando [math] nos queda:
[math].
Pero lo de la izquierda es constante, por lo tanto [math] es constante, absurdo.
Entonces [math].

Y reemplazando por [math] nuevamente, pero esta vez usando que [math],
[math].

Supongamos que [math], reemplazando [math],
[math].
Si [math] reemplazando [math],
[math] para todo [math] real, absurdo, pues [math] no es constante.

Sigue que [math].

Finalmente si reemplazamos [math], con [math]
[math].
Si [math],
de donde [math], absurdo.
Entonces podemos dividir por [math] y nos queda:
[math]
De donde [math]
Y despejando [math] en esto último nos queda [math]. Para todo [math] real distinto de [math], pero para [math] también se cumple esto, por lo tanto la única función que puede llegar a cumplir la condición es [math].

Y es fácil ver que esta función cumple ya que reemplazando nos queda
[math], que vale para todo [math] reales.
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Vladislao

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Re: Selectivo 51° IMO 2010 - Problema 3

Mensaje sin leer por Vladislao » Vie 24 Feb, 2012 8:26 pm

Una medio parecida.
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En pasitos:

1) Veamos que [math] no es una constante. En efecto, si ponemos [math], la ecuación que nos dan equivale a:

[math]

Lo cual es imposible.

2) Reemplazando [math] en la ecuación dada, queda que:

[math]

Esa igualdad implicaría que [math] es constante, lo cual es imposible, por lo que lo que debe ser [math].

Entonces, en la ecuación original, si ponemos [math] y usamos que [math], obtenemos que [math]

3) Veamos que [math]. En efecto, supongamos que [math], entonces, reemplazando en la ecuación original [math] (es claro que podemos, porque esto es equivalente a reemplazar [math]), entonces nos queda que:

[math]

Como supusimos que [math], tenemos en realidad que:

[math]

Supongamos que [math]. Entonces, si en la última igualdad ponemos [math], queda que:

[math]

Pero si miramos el lado derecho, es claro que el segundo factor se anula, por lo cual la igualdad es imposible.

Luego [math] como queríamos.

4) Pongamos ahora [math], es lo mismo que simplemente hacer el reemplazo [math], en nuestra ecuación original tenemos que:

[math]

Como [math], entonces tenemos que alguno de los dos factores del lado derecho se anula. Si el segundo factor es nulo, debe ser [math], pero eso implica que el primer factor no está definido (pues tenemos un [math] en un denominador). Entonces el primer factor es nulo, es decir que:

[math]

Esto implica, por lo demostrado en el paso 3, que [math], es decir que [math], que es la solución que buscábamos. Es sencillo ver que cumple las condiciones del enunciado, por lo que la solución queda completa.
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

Nowhereman

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Re: Selectivo 51° IMO 2010 - Problema 3

Mensaje sin leer por Nowhereman » Mar 28 Nov, 2017 4:13 pm

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Ya habiendo probado que $f$ es no constante y que $f(-1)+\frac{1}{2}=0$, tomamos $x=-1$ en la ecuación original. Nos queda que $f(-1-y+f(y))=0$, si $f(y)-y-1$ recorre todos los reales entonces $f(-1-y+f(y))$ no puede ser constante dado a que se probó que $f$ no es constante y tendremos un absurdo.

Por lo tanto $f(y)-y-1=k$ una constante y $f(y)=y+1+k$.

Reemplazando lo obtenido en la ecuacion original nos quedara que:

$x+xy+y+2k+2=[x+(k+\frac{3}{2})][x+(k+\frac{3}{2})]$, y tomando $x=y=0$ nos queda que

$2k+2=(k+\frac{3}{2})(k+\frac{3}{2})\Rightarrow 0=k^2+k+\frac{1}{4}$, donde $k$ sera igual a $-\frac{1}{2}$. por lo tanto $f(y)=y+\frac{1}{2}$.

jujumas

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Re: Selectivo 51° IMO 2010 - Problema 3

Mensaje sin leer por jujumas » Vie 27 Abr, 2018 4:59 pm

Nowhereman escribió:
Mar 28 Nov, 2017 4:13 pm
Spoiler: mostrar
Ya habiendo probado que $f$ es no constante y que $f(-1)+\frac{1}{2}=0$, tomamos $x=-1$ en la ecuación original. Nos queda que $f(-1-y+f(y))=0$, si $f(y)-y-1$ recorre todos los reales entonces $f(-1-y+f(y))$ no puede ser constante dado a que se probó que $f$ no es constante y tendremos un absurdo.

Por lo tanto $f(y)-y-1=k$ una constante y $f(y)=y+1+k$.

Reemplazando lo obtenido en la ecuacion original nos quedara que:

$x+xy+y+2k+2=[x+(k+\frac{3}{2})][x+(k+\frac{3}{2})]$, y tomando $x=y=0$ nos queda que

$2k+2=(k+\frac{3}{2})(k+\frac{3}{2})\Rightarrow 0=k^2+k+\frac{1}{4}$, donde $k$ sera igual a $-\frac{1}{2}$. por lo tanto $f(y)=y+\frac{1}{2}$.
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Fijate que el hecho de que $f(y)-y-1$ no recorra todos los reales no necesariamente implica que $f(y)-y-1$ es constante.

jujumas

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Re: Selectivo 51° IMO 2010 - Problema 3

Mensaje sin leer por jujumas » Vie 27 Abr, 2018 5:23 pm

Una corta:
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$y=-1$ nos da que $f(f(-1))=(f(x)+\frac{1}{2})(f(-1)+\frac{1}{2})$, por lo que $f(-1)+\frac{1}{2}=0$ o $f$ es constante, pero reemplazando $f$ por una constante en la ecuación original obtenemos que $c^2+\frac{1}{4}=0$. Absurdo. Luego, $f(-1)=\frac{1}{2}$. Volviendo al mismo reemplazo, tenemos que $f(-\frac{1}{2})=0$.

Reemplazando ahora $x=0$, $y=-\frac{1}{2}$, tenemos que $f(0)=\frac{1}{2}(f(0)+\frac{1}{2})$, por lo que $f(0)=\frac{1}{2}$.

Reemplazando $y=0$ en la ecuación original, tenemos que $f(x+\frac{1}{2})=f(x)+\frac{1}{2}$ para todo $x$.

Supongamos ahora que existe un $k\neq -1$ tal que $f(k)=-\frac{1}{2}$.

Reemplazando $x=k$, $y=\frac{-k}{k+1}$ en la ecuación original, tenemos que $f(k+k\frac{-k}{k+1}+f(\frac{-k}{k+1}))=0$, por lo que $f(\frac{k}{k+1}+f(\frac{-k}{k+1}))=0$.

Reemplazando $x=-1$, $y=\frac{-k}{k+1}$ en la ecuación original, tenemos que $f(-1-\frac{-k}{k+1}+f(\frac{-k}{k+1}))=0$, por lo que $f(-1+\frac{k}{k+1}+f(\frac{-k}{k+1}))=0$, pero luego $f(-\frac{1}{2}+\frac{k}{k+1}+f(\frac{-k}{k+1}))=\frac{1}{2}$ y $f(\frac{k}{k+1}+f(\frac{-k}{k+1}))=1$. Absurdo.

Luego, el único $k$ tal que $f(k)=-\frac{1}{2}$ es $-1$.

Análogamente, podemos concluir que si $f(n)=0$, con $n\neq -\frac{1}{2}$, entonces $f(n-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) = 0 = f(n-\frac{1}{2}) + \frac{1}{2}$, pero esto sería contradictorio con la afirmación de que el único $k$ tal que $f(k)=-\frac{1}{2}$ es $-1$. Absurdo.

Por último, tomando $x=-1$ tenemos que $f(-1-y+f(y))=0$, por lo que $-1-y+f(y)=-\frac{1}{2}$ y $f(y)=y+\frac{1}{2}$, y es facil ver que esto verifica.

Nowhereman

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Re: Selectivo 51° IMO 2010 - Problema 3

Mensaje sin leer por Nowhereman » Mar 01 May, 2018 9:57 am

jujumas escribió:
Vie 27 Abr, 2018 4:59 pm
Nowhereman escribió:
Mar 28 Nov, 2017 4:13 pm
Spoiler: mostrar
Ya habiendo probado que $f$ es no constante y que $f(-1)+\frac{1}{2}=0$, tomamos $x=-1$ en la ecuación original. Nos queda que $f(-1-y+f(y))=0$, si $f(y)-y-1$ recorre todos los reales entonces $f(-1-y+f(y))$ no puede ser constante dado a que se probó que $f$ no es constante y tendremos un absurdo.

Por lo tanto $f(y)-y-1=k$ una constante y $f(y)=y+1+k$.

Reemplazando lo obtenido en la ecuacion original nos quedara que:

$x+xy+y+2k+2=[x+(k+\frac{3}{2})][x+(k+\frac{3}{2})]$, y tomando $x=y=0$ nos queda que

$2k+2=(k+\frac{3}{2})(k+\frac{3}{2})\Rightarrow 0=k^2+k+\frac{1}{4}$, donde $k$ sera igual a $-\frac{1}{2}$. por lo tanto $f(y)=y+\frac{1}{2}$.
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Fijate que el hecho de que $f(y)-y-1$ no recorra todos los reales no necesariamente implica que $f(y)-y-1$ es constante.

Si me había dado cuenta un tiempo después de hacerlo, supongo que uno va aprendiendo de los errores :D .

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