Nacional OMA 2008 N3 P4

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Matías V5

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Nacional OMA 2008 N3 P4

Mensaje sin leer por Matías V5 » Dom 22 Dic, 2013 5:00 pm

Hallar todos los números reales [math] tales que [math].
ACLARACIÓN: Los corchetes denotan la parte entera del número que encierran. Por ejemplo, [math], [math], [math].
"La geometría es el arte de hacer razonamientos correctos a partir de figuras incorrectas." -- Henri Poincaré

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Gregorio
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Re: Nacional OMA 2008 N3 P4

Mensaje sin leer por Gregorio » Lun 23 Dic, 2013 2:23 am

Spoiler: mostrar
2x+3x+5x>=2008 (porque x>=[x])
x>=167,3333...
2008>=12x-3 (porque [x]>=x-1
2011>=12x
x=<167,58333333....

entonces:
167,3333...=<x=<167,58333333....
Dentro de este rango:
[3x]=502 siempre.
[2x]=335 si x>=167,5; [2x]=334 si x<167,5
[7x]=1171 si x<1172/7 ; [7x]=1172 si x>=1172/7
si uno toma x>=167,5 le queda
335+502+1172=2009>2008
si uno toma x<1172/7 le queda
334+502+1171=2007<2008

Entonces la suma da 2008 si x pertenece a:
[1172/7 ; 167,5)

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Gianni De Rico

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Re: Nacional OMA 2008 N3 P4

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Vie 06 Oct, 2017 12:33 am

Spoiler: mostrar
Sea [math], con [math] y [math]


Veamos una propiedad de la mantisa:

Si [math] entonces [math] ya que [math]

Si [math] entonces [math] por las mismas razones


Si probamos con [math] la ecuación resulta:
[math]


Forma linda de terminarlo by @Brimix:
Por la propiedad, sabemos que la función [math] cambiará de valor al pasar por un producto de un entero con [math], [math] o [math], entonces queremos encontrar los dos primeros [math] que sean el producto de un entero y alguna de estas fracciones y tales que [math]. Probando a mano se ve que los dos primeros valores que cumplen son [math] y [math], ya que [math] y ambos [math] son menores que [math].


Finalmente:
[math]
[math]

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