Nacional OMA 2008 N3 P4

[Matías V5]

Hallar todos los números reales $x$ tales que$$\lfloor 2x\rfloor +\lfloor 3x\rfloor +\lfloor 7x\rfloor =2008.$$
Aclaración: Los corchetes denotan la parte entera del número que encierran. Por ejemplo, $\left \lfloor \frac{9}{4} \right \rfloor =2$, $\lfloor 4 \rfloor =4$, $\left \lfloor \frac{3}{8} \right \rfloor =0$.

[Gregorio]

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2x+3x+5x>=2008 (porque x>=[x])
x>=167,3333...
2008>=12x-3 (porque [x]>=x-1
2011>=12x
x=<167,58333333....

entonces:
167,3333...=<x=<167,58333333....
Dentro de este rango:
[3x]=502 siempre.
[2x]=335 si x>=167,5; [2x]=334 si x<167,5
[7x]=1171 si x<1172/7 ; [7x]=1172 si x>=1172/7
si uno toma x>=167,5 le queda
335+502+1172=2009>2008
si uno toma x<1172/7 le queda
334+502+1171=2007<2008

Entonces la suma da 2008 si x pertenece a:
[1172/7 ; 167,5)

[Gianni De Rico]

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Sea $x=a+\frac{1}{b}$, con $a\in \mathbb{N}$ y $b\in \mathbb{R}^+$


Veamos una propiedad de la mantisa:

Si $\frac{1}{b}<\frac{1}{n}$ entonces $\left \lfloor n(a+\frac{1}{b})\right \rfloor=n\times a$ ya que $\frac{n}{b}<\frac{n}{n}=1$

Si $\frac{1}{b}\geq \frac{1}{n}$ entonces $\left \lfloor n(a+\frac{1}{b})\right \rfloor=n\times a+\left \lfloor \frac{n}{b}\right \rfloor$ por las mismas razones


Si probamos con $x=\frac{2008}{12}=\frac{502}{3}=167+\frac{1}{3}$ la ecuación resulta:
$334+502+1171=2007$


Forma @Brimix de terminarlo:
Por la propiedad, sabemos que la función $f(x)=\lfloor 2x \rfloor + \lfloor 3x \rfloor + \lfloor 7x \rfloor$ cambiará de valor al pasar por un producto de un entero con $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$ o $\frac{1}{7}$, entonces queremos encontrar los dos primeros $m$ que sean el producto de un entero y alguna de estas fracciones y tales que $m>\frac{502}{3}$. Probando a mano se ve que los dos primeros valores que cumplen son $m=\frac{1172}{7}$ y $m=\frac{335}{2}$, ya que $167=\frac{334}{2}=\frac{1169}{7}$ y ambos $m$ son menores que $\frac{503}{3}$.


Finalmente:
$x=\left [\frac{1172}{7};\frac{335}{2}\right )$