22º APMO (2010) - Problema 5

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22º APMO (2010) - Problema 5

Mensaje sin leer por ésta » Sab 19 Feb, 2011 2:28 am

Hallar todas las funciones [math] del conjunto de los números reales [math] en [math] que para todos [math] satisfacen la identidad
[math].
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Matías

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Re: 22º APMO (2010) - Problema 5

Mensaje sin leer por Matías » Lun 10 Jul, 2017 6:07 pm

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Si [math] es constante, tenemos que [math], entonces:
[math]
[math]
Por lo tanto si [math] es constante entonces [math]
Si [math]
[math] (1)
Si [math]
[math] (2)
Si [math]
[math]
Si [math]
[math]
Entonces obtenemos que [math]
Si [math] e [math]
[math]
Si [math] y [math]
[math]
Con los últimos dos resultados concluimos que [math]
Si [math] y [math]
[math] (3)
Si [math] y [math]
[math]
Por lo tanto [math]
De ser [math] podemos tomar [math], y obtener [math]
Y de ser [math] podemos tomar [math], y obtener [math]
Por lo tanto concluimos que [math]
Si [math] e [math]
[math]
Entonces, por (1), obtenemos que [math]
De ser [math], tendríamos que [math] pasa por todos los números reales, por lo tanto [math] es constante... pero entonces [math] incluyendo [math]... absurdo. Entonces concluimos que [math]

Si [math]
[math] (4)
Si [math]
[math]
Tomando [math] obtenemos que [math]. De ser [math], [math] pasa por todos los números reales, entonces [math]. Por lo tanto, si [math] no es constante entonces [math]

Supongamos que existen dos reales positivos [math] y [math] tales que [math]. Vamos a demostrar que [math], si [math] no es constante. Remplazando [math] y luego [math] en (4) obtenemos que
[math]
Remplazando [math] y luego [math] obtenemos que (siendo [math] un real positivo cualquiera)
[math]
Si [math] y [math] son reales positivos; [math], y [math], obtenemos que
[math]
Entonces, por (2), nos queda que [math]. Y de ser [math] nos queda que [math].
Así, concluimos que [math]. Equiparando [math] con [math], [math] con [math] e [math] con [math], obtenemos que [math]. Así que si [math] entonces [math] o [math] (si [math] no es constante)

Entonces, por (3) obtenemos que [math]. Pero vamos a demostrar que [math] a menos que sea [math]
Si [math] siendo [math] y [math]
[math]
De ser [math] nos queda que
[math]
[math]
[math] (absurdo)
Verifiquemos la función [math]
[math]
[math]

Concluimos que las funciones que cumplen son [math] y [math]
1  

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