Hallar el menor entero positivo [math]a para el cual se verifica que hay [math]1997 cuadrados perfectos comprendidos estrictamente entre [math]a y [math]2a.
Sea [math]x el menor entero tal que [math]a<x^2<2a, entonces [math]\frac{x^2}{2}<a<x^2. Como tiene que haber otros [math]1996 cuadrados perfectos entre [math]a y [math]2a concluimos que el cuadrados perfecto más grande va a tener que ser [math](x+1996)^2, entonces [math]a<(x+1996)^2<2a y [math]\frac{(x+1996)^2}{2}<a<(x+1996)^2.
Pero como tenemos que [math]x^2<(x+1996)^2 y que [math]\frac{x^2}{2}<\frac{(x+1996)^2}{2}, nuestro [math]a va a quedar restringido por: [math]\frac{(x+1996)^2}{2}<a<x^2(I), que es lo mismo que, [math]\frac{(x+1996)^2}{2}<x^2. Si despejamos, como nuestro [math]x es entero, obtenemos que [math]4819\leq x. Luego, reemplazando [math]x en (I), sigue que [math]\frac{(4819+1996)^2}{2}=23.222.112,5<a. Como nuestro [math]a es entero, su mínimo valor posible va a ser [math]a=23.222.113.
Para ver que anda, sabemos que [math]2a=46.444.226 y que todos los cuadrados perfectos entre [math]4819^2=23.222.761 y [math](4819+1996)^2=6815^2=46.444.225 están entre [math]a y [math]2a
