Iberoamericana 2009 P2

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Matías V5

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Iberoamericana 2009 P2

Mensaje sin leer por Matías V5 » Sab 16 Ago, 2014 2:11 pm

Para cada entero positivo [math], definimos [math], donde [math] es el mayor entero tal que [math]. Determinar cuáles son los enteros positivos que no aparecen en la sucesión [math].
"La geometría es el arte de hacer razonamientos correctos a partir de figuras incorrectas." -- Henri Poincaré

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Violeta

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Re: Iberoamericana 2009 P2

Mensaje sin leer por Violeta » Mar 25 Jul, 2017 11:38 pm

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Primero probamos que si [math] y [math], entonces [math].

Basta con probar los extremos solamente, ya que es obvio que si [math].

Partamos el problema en probar cuatro desigualdades:

i) [math]

ii) [math]

iii) [math]

iv) [math]

Demostraciones:

i) Dividiendo ambos lados por [math] se llega a tener que probar que [math], que es cierto para [math]. No lo voy a proba, queda de ejercicio.

ii) Dividiendo por [math] queremos probar que [math], pero como [math] sigue que [math].

iii) No es dificil ver que [math] para [math] de donde sigue el resultado inmediatamente (Se puede probar, pero no lo voy a hacer por vago :P )

iv) Dividiendo por [math] se tiene que hay que probar que [math], que es trivial porque [math].

Podemos ver con esto que entonces [math] si [math]. Si [math], entonces [math] y el valor que nunca se toca es [math], pues la sucesion [math] es estrictamente creciente. (Sé que pude haber dicho esto de una forma mas rigurosa pero tengo sueño y creo que se entiende mas o menos, la idea es que los [math] toman todos los valores que no son potencias de [math] mayores que [math].).

Ahora solo falta considerar los [math]. [math], [math]. Entonces, [math] nunca toma el valor de una potencia de [math], excepto [math].
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.

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