Para cada entero positivo [math]n, definimos [math]a_n = n+m, donde [math]m es el mayor entero tal que [math]2^{2^m} \leq n2^n. Determinar cuáles son los enteros positivos que no aparecen en la sucesión [math](a_n).
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i) Dividiendo ambos lados por [math]{2^{2^m}} se llega a tener que probar que [math]1 \leq 2 +\frac{1-m}{2^{m-1}} \Rightarrow 2^{m-1} \geq m-1, que es cierto para [math]m \geq 2. No lo voy a proba, queda de ejercicio.
ii) Dividiendo por [math]2^{2^m+1} queremos probar que [math]1 +\frac{1-m}{2^m} < 2^{2^m-1}, pero como [math]1-m < 0 sigue que [math]2^{2^m-1} > 1 > 1+\frac{1-m}{2^m}.
iii) No es dificil ver que [math]2^{m+1}-m-1 \geq 2^m \geq 1 para [math]m \geq 2 de donde sigue el resultado inmediatamente (Se puede probar, pero no lo voy a hacer por vago )
iv) Dividiendo por [math]2^{2^{m+1}-m-1} se tiene que hay que probar que [math]2^{m+1}-m-1 < 2^{m+1}, que es trivial porque [math]m>-1.
Podemos ver con esto que entonces [math]a_{n+1} = a_n+1 si [math]2^m-m+1 \leq n < 2^{m+1}-m-1. Si [math]n=2^{m+1}-m-1, entonces [math]a_{n+1}=a_n+2 y el valor que nunca se toca es [math]2^{m+1}, m \geq 2, pues la sucesion [math]a_n es estrictamente creciente. (Sé que pude haber dicho esto de una forma mas rigurosa pero tengo sueño y creo que se entiende mas o menos, la idea es que los [math]a_n toman todos los valores que no son potencias de [math]2 mayores que [math]a_3=5.).
Ahora solo falta considerar los [math]n < 2^2 -2+1 = 3. [math]a_1 =1, [math]a_2 =3. Entonces, [math]a_n nunca toma el valor de una potencia de [math]2, excepto [math]1.
Para todo [math]k, existen [math]k primos en sucesión aritmética.