Certamen Urbana Metropolitana 2014 - Nivel 3 - P1

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.

Certamen Urbana Metropolitana 2014 - Nivel 3 - P1

UNREAD_POSTpor Ignacio B » Dom 14 Sep, 2014 5:22 pm

Tres amigos $A$, $B$, $C$ viajan desde $F$ hasta $G$. La distancia entre estos dos pueblos es $17 km$. Salen los tres al mismo tiempo y llegan al mismo tiempo. Las velocidades de los amigos son, respectivamente, $40 m/min$, $50 m/min$, $60 m/min$. Tienen entre los tres una bicicleta en la que todos van a $200 m/min$. Al principio, uno sale en bicicleta y los otros dos, caminan. Después de cierto tiempo, el de la bicicleta, la deja y continúa a pie. Otro de los amigos, el que llega primero la toma y sigue un rato en bicicleta. Luego la deja y sigue a pie. Finalmente, el tercer amigo toma la bicicleta y llega a $G$ al mismo tiempo que sus otros dos amigos. Determinar cuánto tiempo recorrió cada uno en bicicleta.
($m/min$ es la abreviatura de metros por minuto)

Ignacio B
 
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Re: Certamen Urbana Metropolitana 2014 - Nivel 3 - P1

UNREAD_POSTpor Prillo » Dom 14 Sep, 2014 6:14 pm

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Sea $t$ la cantidad total de tiempo en minutos que le lleva a los amigos ir de $F$ hasta $G$. Sean $t_A,t_B$ y $t_C$ las cantidades de tiempo en minutos que usa cada amigo la bicicleta. El enunciado nos pide hallar precisamente $t_A,t_B$ y $t_C$. Consideremos el amigo $A$. Tenemos que $A$ recorre $t_A$ minutos en la bicicleta, y por lo tanto, $t - t_A$ minutos a pie. Luego, como $\textit{distancia} = \textit{velocidad} \times \textit{tiempo}$, tenemos que el amigo $A$ recorrio $200 t_A$ metros en bici, y $40(t - t_A)$ metros a pie. Como la distancia entre $F$ y $G$ es de $17 km = 17 000$ metros, se sigue que $200 t_A + 40(t - t_A) = 17000 \Rightarrow 160t_A + 40 t = 17000$. De la misma manera obtenemos las ecuaciones analogas para los amigos $B$ y $C$. Esto nos da las tres ecuaciones:

$160t_A + 40 t = 17000 \\
150t_B + 50 t = 17000 \\
140t_C + 60 t = 17000$


Hasta ahora tenemos $3$ ecuaciones y $4$ incognitas. Para obtener una cuarta ecuacion, nos enfocamos en la bicicleta. La bicicleta tambien se mueve de $F$ a $G$: recorre esta distancia en $3$ tramos, que son cuando la usa cada amigo. En el tramo que la usa el amigo $A$, la bicicleta recorre $200t_A$ metros, cuando la usa $B$ recorre $200t_B$ metros, y cuando la usa $C$, recorre $200t_C$ metros. Por lo tanto, como la bicicleta recorre en total $17000$ metros, obtenemos que $200t_A + 200t_B + 200t_C = 17000 \Rightarrow t_A + t_B + t_C = 85$, y de esta manera

$t_A + t_B + t_C = 85$


Ahora que tenemos $4$ ecuaciones y $4$ incognitas, simplemente es cuestion de despejar cada una. Poniendo $t_A,t_B$y$t_C$ en funcion de $t$ en las primeras $3$ ecuaciones obtenemos

$t_A = \frac{17000 - 40t}{160} \\
t_B = \frac{17000 - 50t}{150} \\
t_C = \frac{17000 - 60t}{140}$


y reemplazando estos valores en la igualdad $t_A + t_B + t_C = 85$, queda

$\frac{17000 - 40t}{160} + \frac{17000 - 50t}{150} + \frac{17000 - 60t}{140} = 85$


Esta ecuacion involucra solo a $t$, entonces la podemos despejar y nos da $t = 253$. Por ultimo, despejamos los valores de $t_A,t_B$ y $t_C$:

$t_A = \frac{17000 - 40t}{160} = \frac{17000 - 40\cdot 253}{160} = 43$,
$t_B = \frac{17000 - 50t}{150} = \frac{17000 - 50\cdot 253}{150} = 29,$
$t_C = \frac{17000 - 60t}{140} = \frac{17000 - 60\cdot 253}{140} = 13$


Por lo tanto, el amigo $A$ usa la bicicleta $43$ minutos, el amigo $B$ la usa $29$ minutos, y el amigo $C$ la usa $13$ minutos. $\blacksquare$
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Re: Certamen Urbana Metropolitana 2014 - Nivel 3 - P1

UNREAD_POSTpor CarlPaul_153 » Lun 15 Sep, 2014 10:01 pm

Otra forma de hacerlo:
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Sea $T$ el tiempo que tardó cada uno. Sin la bicicleta $A$ tardaría $425min$. y por cada minuto que usa la bicicleta se ahorra $\frac{1}{40}min-\frac{1}{200}min=\frac{1}{50}min$. de igual manera se concluye que:

$T=425min-\frac{1}{50}a=340min-\frac{3}{200}b=\frac{850}{3}min-\frac{7}{600}c$

Donde $a,b$ y $c$ es la cantidad de metros que usó cada uno la bicicleta. Entonces también tenemos:

$a+b+c=17000m$

Y bueno, ahí se hace el sistema de ecuaciones y arroja los mismo resultados que Prillo :D
Si todo te da igual estás haciendo mal las cuentas. Albert Einstein.
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Re: Certamen Urbana Metropolitana 2014 - Nivel 3 - P1

UNREAD_POSTpor Gianni De Rico » Mié 09 Ago, 2017 10:43 pm

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Sean $T$ el tiempo que tardan $A$, $B$ y $C$ en ir de $F$ a $G$; $t_A$, $t_B$, $t_C$ el tiempo que $A$, $B$ y $C$, respectivamente, tienen la bicicleta.

Vamos a calcular la distancia que recorre cada uno en función del tiempo, como sabemos la distancia, la velocidad a la que van en la bicicleta, y la velocidad a la que caminan individualmente, podemos hacerlo.

Nos queda:
$200t_A+40(T-t_A)=17000$
$200t_B+50(T-t_B)=17000$
$200t_C+60(T-t_C)=17000$

Despejando los $t$ resultan:
$t_A=\frac{425-T}{4}$
$t_B=\frac{340-T}{3}$
$t_C=\frac{1700-6T}{14}$

Ahora, la bicicleta también va de $F$ a $G$, y el tiempo que tarda es el tiempo que cada uno de los amigos la estuvieron usando. Entonces:
$200(t_A+t_B+t_C)=17000\Rightarrow t_A+t_B+t_C=85$

Entonces nos queda un sistema de $4$ ecuaciones con $4$ incógnitas, resolviéndolo resulta:
$T=253$
$t_A=43$
$t_B=29$
$t_C=13$
$e^{i\pi}+1=0$
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