Certamen Urbana Metropolitana 2014 - Nivel 3 - P1

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Ignacio B
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Certamen Urbana Metropolitana 2014 - Nivel 3 - P1

Mensaje sin leer por Ignacio B » Dom 14 Sep, 2014 5:22 pm

Tres amigos [math], [math], [math] viajan desde [math] hasta [math]. La distancia entre estos dos pueblos es [math]. Salen los tres al mismo tiempo y llegan al mismo tiempo. Las velocidades de los amigos son, respectivamente, [math], [math], [math]. Tienen entre los tres una bicicleta en la que todos van a [math]. Al principio, uno sale en bicicleta y los otros dos, caminan. Después de cierto tiempo, el de la bicicleta, la deja y continúa a pie. Otro de los amigos, el que llega primero la toma y sigue un rato en bicicleta. Luego la deja y sigue a pie. Finalmente, el tercer amigo toma la bicicleta y llega a [math] al mismo tiempo que sus otros dos amigos. Determinar cuánto tiempo recorrió cada uno en bicicleta.
([math] es la abreviatura de metros por minuto)

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Prillo

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Re: Certamen Urbana Metropolitana 2014 - Nivel 3 - P1

Mensaje sin leer por Prillo » Dom 14 Sep, 2014 6:14 pm

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Sea [math] la cantidad total de tiempo en minutos que le lleva a los amigos ir de [math] hasta [math]. Sean [math] y [math] las cantidades de tiempo en minutos que usa cada amigo la bicicleta. El enunciado nos pide hallar precisamente [math] y [math]. Consideremos el amigo [math]. Tenemos que [math] recorre [math] minutos en la bicicleta, y por lo tanto, [math] minutos a pie. Luego, como [math], tenemos que el amigo [math] recorrio [math] metros en bici, y [math] metros a pie. Como la distancia entre [math] y [math] es de [math] metros, se sigue que [math]. De la misma manera obtenemos las ecuaciones analogas para los amigos [math] y [math]. Esto nos da las tres ecuaciones:
[math]
Hasta ahora tenemos [math] ecuaciones y [math] incognitas. Para obtener una cuarta ecuacion, nos enfocamos en la bicicleta. La bicicleta tambien se mueve de [math] a [math]: recorre esta distancia en [math] tramos, que son cuando la usa cada amigo. En el tramo que la usa el amigo [math], la bicicleta recorre [math] metros, cuando la usa [math] recorre [math] metros, y cuando la usa [math], recorre [math] metros. Por lo tanto, como la bicicleta recorre en total [math] metros, obtenemos que [math], y de esta manera
[math]
Ahora que tenemos [math] ecuaciones y [math] incognitas, simplemente es cuestion de despejar cada una. Poniendo [math]y[math] en funcion de [math] en las primeras [math] ecuaciones obtenemos
[math]
y reemplazando estos valores en la igualdad [math], queda
[math]
Esta ecuacion involucra solo a [math], entonces la podemos despejar y nos da [math]. Por ultimo, despejamos los valores de [math] y [math]:
[math],
[math]
[math]
Por lo tanto, el amigo [math] usa la bicicleta [math] minutos, el amigo [math] la usa [math] minutos, y el amigo [math] la usa [math] minutos. [math]

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CarlPaul_153
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Re: Certamen Urbana Metropolitana 2014 - Nivel 3 - P1

Mensaje sin leer por CarlPaul_153 » Lun 15 Sep, 2014 10:01 pm

Otra forma de hacerlo:
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Sea [math] el tiempo que tardó cada uno. Sin la bicicleta [math] tardaría [math]. y por cada minuto que usa la bicicleta se ahorra [math]. de igual manera se concluye que:

[math]

Donde [math] y [math] es la cantidad de metros que usó cada uno la bicicleta. Entonces también tenemos:

[math]

Y bueno, ahí se hace el sistema de ecuaciones y arroja los mismo resultados que Prillo :D
Si todo te da igual estás haciendo mal las cuentas. Albert Einstein.

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Gianni De Rico

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Re: Certamen Urbana Metropolitana 2014 - Nivel 3 - P1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mié 09 Ago, 2017 10:43 pm

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Sean [math] el tiempo que tardan [math], [math] y [math] en ir de [math] a [math]; [math], [math], [math] el tiempo que [math], [math] y [math], respectivamente, tienen la bicicleta.

Vamos a calcular la distancia que recorre cada uno en función del tiempo, como sabemos la distancia, la velocidad a la que van en la bicicleta, y la velocidad a la que caminan individualmente, podemos hacerlo.

Nos queda:
[math]
[math]
[math]

Despejando los [math] resultan:
[math]
[math]
[math]

Ahora, la bicicleta también va de [math] a [math], y el tiempo que tarda es el tiempo que cada uno de los amigos la estuvieron usando. Entonces:
[math]

Entonces nos queda un sistema de [math] ecuaciones con [math] incógnitas, resolviéndolo resulta:
[math]
[math]
[math]
[math]
[math]

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