Nacional 2008 P5 N1

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
fedeq

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Nacional 2008 P5 N1

Mensaje sin leer por fedeq » Sab 08 Nov, 2014 12:16 pm

Determinar si es posible dividir un cuadrado de lado [math] en las siguientes [math] partes: un cuadrado de lado [math] y cuatro rectángulos cuyas dimensiones son [math] números enteros distintos y mayores que [math]. ¿Y si el cuadrado que se quiere dividir es de lado [math]?

fedeq

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Re: Nacional 2008 P5 N1

Mensaje sin leer por fedeq » Sab 08 Nov, 2014 12:17 pm

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Parte 1: Sabemos que el cuadrado 1x1 no va a menos de 2 cuadraditos de distancia del borde, ni a 2 cuadraditos
de distancia en relación a dos lados adyacentes.

También sabemos que al ser rectángulos los que debemos hacer, el cuadradito coincidirá en cada uno de sus lados
con un rectángulo de diferente color.

Como todas las medidas son iguales, buscamos las formas de formar 11 con los números del 2 al 10
2 + 9
3 + 8
4 + 7
5 + 6

Por enunciado, sabemos que esos números serán los lados de cada rectángulo.
Como hay que formar lados de 11, los rectángulos se conformarán por un número par y uno impar.

Situamos el cuadradito en la 3era fila columna 6, donde quedará a 2 del borde de arriba y a 4 del de la izquierda,
por consecuente, a 8 del de abajo y a 6 del de la derecha.

Ahora formamos los rectángulos y nos quedarán: Un rectángulo de 3x4, uno de 7x2, uno de 8x5 y uno de 9x6.
Con eso concluye la parte 1.

Parte 2:
Los lados tienen que forman 10.
Las formas de lograr 10 son:
2 + 8
3 + 7
4 + 6
5 + 5
1 + 9

Como cada lado debe ser mayor que 1, enteros y 8 números distintos se ve fácilmente que esto no se puede lograr
(Por lo visto de la ubicación del cuadrado en la parte 1, y porque son rectángulos los que tenemos que formar)

maxiR

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Re: Nacional 2008 P5 N1

Mensaje sin leer por maxiR » Jue 01 Nov, 2018 6:29 pm

Spoiler: mostrar
Parte $2$:
Claramente los rectangulos no pueden tener lado $9$, pues en ese caso la distancia entre el rectangulo y alguno de los borde es $1$, luego ese lugar debe ser cubierto por un rectanguko de $1×n$ .Contradiccion ya que las dimensiones de los rectangulos son mayores que $1$.Entonces las 8 dimensiones del rectangulo pertenecen al conjunto $(2,3,4,5,6,7,8,10)$.Luego el minimo valor que pueden sumar las areas de los rectangulos es $2×10+3×8+4×7+6×5=102$ .Contradiccion pues debe ser $99$.Luego la division es imposible.

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