Nacional 2014 N3 P1

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LuchoLP

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Nacional 2014 N3 P1

Mensaje sin leer por LuchoLP » Dom 16 Nov, 2014 7:24 pm

Son dados [math] números enteros positivos en una fila. El primero y el último de ellos son iguales a [math]. Cada uno de los restantes números es menor que el promedio de sus vecinos y la diferencia entre cada uno de los restantes números y el promedio de sus vecinos es siempre el mismo entero. Hallar el anteúltimo número de la fila.

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Matías V5

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Re: Nacional 2014 N3 P1

Mensaje sin leer por Matías V5 » Mié 19 Nov, 2014 3:30 pm

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Por comodidad, denotemos [math].
Sean [math] los números de la fila, ordenados de izquierda a derecha.
Sabemos que [math].
Si [math] es el promedio entre [math] y [math], entonces [math]. Además, por la condición del enunciado, sabemos que [math] donde [math] es un entero positivo fijo.
Ahora, [math] es el promedio entre [math] y [math] disminuido en [math], es decir que [math]. De aquí se puede despejar que [math].
Análogamente, [math] es el promedio entre [math] y [math] disminuido en [math], es decir que [math]. De aquí se despeja [math].
Haciendo un par de veces más estas cuentas se vuelve fácil encontrar el patrón. Lo que termina sucediendo es que [math] para todo [math]. Es fácil y aburrido probar esta afirmación por inducción.
En particular para [math] nos queda que [math]. Pero también teníamos que [math]. Igualando ambas expresiones, pasando las [math] sumando y dividiendo todo por [math], llegamos a que [math], o sea, [math]. Ahora reemplazamos esto en la expresión que habíamos encontrado para [math] y obtenemos [math]. En particular, para [math] nos queda [math]. Como todos los términos de la sucesión son enteros positivos, la única posibilidad es [math], pues [math] es menor que [math]. Ahora sólo falta calcular [math]. [math]
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We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore!

Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=SoRiOoqao5Y

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