P1 N3 Metropolitana 2010

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bruno
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P1 N3 Metropolitana 2010

Mensaje sin leer por bruno » Lun 07 Mar, 2011 3:16 am

Un número natural [math] se dice bueno de orden [math] si existen al menos [math] pares distintos [math] de numeros naturales tales que para cada uno de ellos [math].
Hallar el menor número bueno de orden [math].

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Vladislao

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Re: P1 N3 Metropolitana 2010

Mensaje sin leer por Vladislao » Lun 11 Abr, 2011 5:28 pm

Como [math], para cualquier [math] existe una solución [math] en [math].

Como necesitamos que para el [math] elegido haya al menos 5 pares [math] en [math] que resuelvan nuestra ecuación, entonces, si el par [math] y el par [math] son solución, es claro que [math].

Pongamos [math].

Entonces [math]. Esto lleva a [math]. En particular, tenemos que [math] y que [math], entonces cada valor [math] depende del anterior, entonces alcanza con minimizar el valor de [math] y de [math]. Tomemos [math] y [math]. Entonces [math].

Como además, [math], cada valor de x depende del siguiente, por lo que debemos minimizar [math], y tomamos [math], entonces [math]. Es trivial ver que cualquier par [math] da como solución [math], que, entonces, es el menor.
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

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Gianni De Rico

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Re: P1 N3 Metropolitana 2010

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Vie 07 Jul, 2017 4:16 pm

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Notemos que si hacemos una sucesión con los pares $(x,y)$, las sucesiones de $x$ e $y$ son inversas, es decir, una es creciente y la otra decreciente.

Queremos $3x_a+139y_a=3x_b+139y_b$ para todos $a,b\leq 5$, si escribimos $x_b=x_a-j$, entonces queda $3x_b=3x_a-3j$, de forma análoga, si escribimos $y_b=y_a+k$, entonces queda $139y_b=139y_a+139k$.

Reemplazando tenemos:
$3x_a+139y_a=3x_a-3j+139y_a+139k\Rightarrow 139k=3j$

Como $dcm(3,139)=1$, y queremos el mínimo de $j$ y de $k$, tenemos $k=3$, $j=139$. Como la sucesión de $y$ es creciente, entonces para minimizarla, tenemos que minimizar $y_1$, pero como todos los valores de $y$ son enteros, el mínimo es $y_1=1$.
Análogamente, como la sucesión de $x$ es decreciente, para minimizarla tenemos que minimizar $x_5$, pero como todos los valores de $x$ son enteros, el mínimo es $x_5=1$.

Entonces nos queda:
$(x_1,y_1)=(557,1)=1810$
$(x_2,y_2)=(418,4)=1810$
$(x_3,y_3)=(279,7)=1810$
$(x_4,y_4)=(140,10)=1810$
$(x_5,y_5)=(1,13)=1810$

Por lo tanto el mínimo número bueno de orden $5$ es $n=1810$.
[math]

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