P1 N3 Metropolitana 2010

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bruno
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P1 N3 Metropolitana 2010

Mensaje sin leer por bruno »

Un número natural $n$ se dice bueno de orden $5$ si existen al menos $5$ pares distintos $(x,y)$ de números naturales tales que, para cada uno de ellos, $n=3x+139y$.
Hallar el menor número bueno de orden $5$.
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Vladislao

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Re: P1 N3 Metropolitana 2010

Mensaje sin leer por Vladislao »

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Como $(3,139)=1$, para cualquier $n$ existe una solución $(x,y)$ en $\mathbb{Z}$.

Como necesitamos que para el $n$ elegido haya al menos 5 pares $(x,y)$ en $\mathbb{N}$ que resuelvan nuestra ecuación, entonces, si el par $(x_i,y_i)$ y el par $(x_j,y_j)$ son solución, es claro que $y_j > y_i \Leftrightarrow x_i > x_j$.

Pongamos $3x_i + 139y_i = 3x_j + 139y_j \Rightarrow 3 (x_i-x_j) = 139 (y_j-y_i)$.

Entonces $x_i-x_j = 139k$. Esto lleva a $y_j-y_i = 3k$. En particular, tenemos que $x_{i-1}-x_i = 139r$ y que $y_{i}-y_{i-1}=3r$, entonces cada valor $y_i$ depende del anterior, entonces alcanza con minimizar el valor de $r$ y de $y_1$. Tomemos $r=1$ y $y_1=1$. Entonces $y_1 = 1, y_2 = 4, y_3 = 7, y_4 = 10, y_5 = 13$.

Como además, $x_{i-1} = 139+x_i$, cada valor de x depende del siguiente, por lo que debemos minimizar $x_5$, y tomamos $x_5 = 1$, entonces $x_4=140, x_3 = 279, x_2 = 418, x_1 = 557$. Es trivial ver que cualquier par $(x_i,y_i)$ da como solución $n=1810$, que, entonces, es el menor.
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.
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drynshock

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Re: P1 N3 Metropolitana 2010

Mensaje sin leer por drynshock »

¡VIVA LA PATRIA!
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Notemos que $n = 3x_1 + 139y_1 = 3x_2 + 139y_2 = ... = 3x_5 + 139y_5$

Considerando $3x_1 + 139y_1 = 3x_2 + 139y_2 \Rightarrow 3(x_2 - x_1) = 139(y_1 - y_2)$. Por consigna sabemos que $x, y$ tienen que ser lo mas chico posible, es por esto que podemos decir que $x_2 - x_1 = 139 \land y_1 - y_2$
Haciendo la listita de cada diferencia:
$x_2 - x_1 = 139 \land y_1 - y_2 = 3$
$x_3 - x_2 = 139 \land y_2 - y_3 = 3$
$x_4 - x_3 = 139 \land y_3 - y_4 = 3$
$x_5 - x_4 = 139 \land y_4 - y_5 = 3$

Notemos que $x, y$ son independientes, por lo que podemos analizar ambos casos por separado.
Para $x$ veamos que cada termino es mayor que el anterior, luego podemos decir que $x_1 = 1$.
Para $y$ cada termino es menor que el anterior, por lo tanto $x_5 = 1$, sumando las ecuaciones de antes llegamos a que $y_1 - y_5 = 12 \Rightarrow y_1 = 13$.

Finalmente, $n = 3.1 + 139.13 \Rightarrow \boxed{n = 1810}$
@Bauti.md ig // Ridin' in a getaway car // $\zeta (s) =\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}$
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