22° Cono Sur 2011 - Problema 2

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Matías V5

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22° Cono Sur 2011 - Problema 2

Mensaje sin leer por Matías V5 » Lun 22 Ago, 2011 7:26 pm

En un pizarrón están escritos los números enteros positivos desde [math] hasta [math] inclusive.
En cada paso, Pedro borra dos números del pizarrón, [math] y [math], y escribe el número [math]. Pedro repite el procedimiento hasta que quede un solo número. Demostrar que este número será menor que [math], sin importar qué números haya elegido Pedro en cada paso.
We gave you a start so you'd know what to do
You've seen how it works, now it's over to you (...)
For there's so much more to explore!

Numberblocks - https://www.youtube.com/watch?v=SoRiOoqao5Y

junior14
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Re: 22° Cono Sur 2011 - Problema 2

Mensaje sin leer por junior14 » Dom 25 Dic, 2011 1:11 pm

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Sean [math] reales positivos definiremos [math] realicemos la operación sobre dos de estos reales digamos a y b, notemos qe la funcion decrece puesto que
[math] [math] (MC-MA)
luego siempre irá decreciendo y por tanto
[math] entonces [math]. Luego solo es necesario demostrar que
[math]
Notemos que [math]
Por lo tanto
[math]

Fedex

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Re: 22° Cono Sur 2011 - Problema 2

Mensaje sin leer por Fedex » Mar 13 Oct, 2020 2:25 pm

Spoiler: mostrar
Por $AM-GM$
$a^2 + b^2 \geq 2ab$
Luego:
$\frac{ab}{\sqrt{2a^2 + 2b^2}} \leq \frac{ab}{\sqrt{a^2 + 2ab + b^2}} = \frac{ab}{\sqrt{(a+b)^2}} = \frac{ab}{a+b} = \frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$
Luego si en vez de reemplazar por $\frac{ab}{\sqrt{2a^2 + 2b^2}}$ reemplazamos por un numero mayor como lo es $\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$ y se sigue cumpliendo que el numero final es menor que $\frac{1}{n}$, entonces para el anterior reemplazo también será cierto.
Luego para este nuevo cambio en donde reemplazamos a $a$ y $b$ por $\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$ consideramos la sub-lista de $a_1, a_2, \ldots ,a_k$
$\frac{1}{a_1} , \frac{1}{a_2} , \ldots , \frac{1}{a_k}$ donde si nos llevamos $a_1$ y $a_2$ agregando $\frac{1}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}}$ en la sub-lista sacamos $\frac{1}{a_1}$ y $\frac{1}{a_2}$ agregando $\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}}} = \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2}$. De esta forma, la suma de elementos en la sub-lista es invariante.
Luego, el ultimo elemento que aparece en ella es $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{4^n}$ lo que en la lista es $\frac{1}{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{4^n}}$ y buscando que:
$ \frac{1}{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{4^n}} < \frac{1}{n}$
$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{4^n} > n$
Que es cierto y se puede ver como pusieron arriba.
3  
$\frac{9}{1^2} \binom{20}{18}$

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