Ceci y Julián compraron en el mismo kiosco distintas cantidades de las mismas golosinas. Ceci compro $3$ alfajores, un bombón y $5$ caramelos, y gastó $\$76$. Julián compro $4$ alfajores, un bombón y $7$ caramelos, y gastó $\$100$. Se sabe que cada alfajor cuesta lo mismo que $6$ caramelos. Determinar cuánto cuesta cada artículo.
Decimos que $A=$alfajor, $B=$bombón y $C=$caramelo
Sabemos que $3A+B+5C=\$76$ (ecuación 1) y que $4A+B+7C=\$100$ (ecuación 2), entonces a la ecuación 2 le restamos la ecuación 1 y llegamos a que $A+2C=\$24$, pero como sabemos que $A=6C$ por el enunciado, reemplazamos y concluimos que $8C=\$24$. Entonces $C=\$3$ y $A=\$18$. Ahora reemplazamos en la ecuación 1:
$54+B+15=\$76$
$B=\$7$
Digamos que C es Ceci, y J es Julián.
C compró $3$ alfajores, $1$ bombón y $5$ caramelos y pagó $76$ pesos.
J compró $4$ alfajores, $1$ bombón y $7$ caramelos y pagó $100$ pesos.
Digamos que, por lo que nos dice el enunciado: $6$ Caramelos = $1$ alfajor = $6x$
$1$ caramelo = $1x$
Y $1$ bombón = $y$
C compró $18x$, $1y$ y $5x$, osea $23x$ y $1y$
Y, J compró $24x$, $1y$ y $7x$, osea $31x$ y $1y$
Entonces, vemos que la diferencia entre ambas compras es de $8x$ y de $24$ pesos. Y no hay diferencias en la $y$, ya que ambos compraron $1y$
Entonces vimos que $8x$ = $24$ pesos
Esta ecuación es sencilla, ya que dividimos por 8 en ambos lados y tenemos que:
$3$ pesos = $x$ = $1$ caramelo
$18$ pesos = $x$ = $1$ alfajor
Ahora, en la ecuación $23x$ + $1y$ = $76$ pesos, reemplazo con los datos que se y tengo:
$69$ pesos + $y$ = $76$ pesos. $76$ pesos - $69$ pesos = $y$ = $7$ pesos.
Por las dudas, compruebo con la otra ecuación, remplazando los datos:
$31x$ + $1y$ = $100$ pesos = $93$ pesos + $7$ pesos = $100$ pesos. Y veo que se cumple.
Así que corroboré la respuesta:
$1 caramelo$ cuesta $3$ pesos
$1 bombón$ cuesta $7$ pesos
Y $1 alfajor$ cuesta $18$ pesos.
Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
$3a + b + 5c = 76$ ($1$)
$4a + b + 7c = 100$ ($2$)
$a= 6c$ ($3$)
Donde $a,b$ y $c$ son los valores de un alfajor, un bombón y un caramelo respectivamente.
Vamos a reemplazar $a$ con la información de ($3$) en ($1$) y ($2$)
$23c + b = 76$ ($4$)
$31c + b = 100$ ($5$)
Le restamos ($4$) a ($5$) y nos queda:
$8c = 24$ y sale que $c=3$
Reemplazando $c$ en ($3$) sale que $a=18$
Luego reemplazamos en ($1$) y sale que $b=7$
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