Torneo de las Ciudades - Octubre 2015 - NM P5

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Gianni De Rico

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Torneo de las Ciudades - Octubre 2015 - NM P5

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 06 Jul, 2019 4:24 pm

Se tienen varios números reales distintos escritos en un pizarrón. Pedro quiere escribir una expresión algebraica tal que tome exactamente los valores escritos en el pizarrón. Puede usar cualquier número real, paréntesis, los signos $+$, $-$, $\times$ y un signo especial, $\pm$. Usar $\pm$ es equivalente a usar $+$ y $-$ en todas sus posibles combinaciones. Por ejemplo, la expresión $5\pm 1$ tiene como resultado $\{4,6\}$, mientras que $(2\pm 0,5)\pm 0,5$ tiene como resultado $\{1,2,3\}$.
Decidir si Pedro puede lograr su objetivo si en el pizarrón están escritos
a) los números $1$, $2$, $4$.
b) $100$ números reales distintos.
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Joacoini

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Re: Torneo de las Ciudades - Octubre 2015 - NM P5

Mensaje sin leer por Joacoini » Vie 20 Mar, 2020 3:41 am

Spoiler: mostrar
Si hay $n$ reales distintos, $a_1<a_2<\ldots <a_n$, vamos a armar una expresión que tenga como resultado $\{a_1,\ldots ,a_n\}$.

$0,5\pm 0,5$ puede ser $0$ ó $1$, si llamamos $c$ a esta expresión entonces $a+bc$ es como elegir sumar ó no sumar $b$.

$a_n$ tiene como solución $\{a_n\}$.

Supongamos que tenemos una expresión $e$ que tiene como resultado $\{a_n,\ldots ,a_{n-i}\}$ veamos que podemos crear una que agrega a $a_{n-i-1}$.

$e-a_{n-i-1}$ tiene como resultado $\{a_n-a_{n-i-1},\ldots ,a_{n-i}-a_{n-i-1}\}$.

$(e-a_{n-i-1})c$ tiene como resultado $\{a_n-a_{n-i-1},\ldots ,a_{n-i}-a_{n-i-1},0\}$

$a_{n-i-1}-(e-a_{n-i-1})c$ tiene como resultado $\{a_n,\ldots ,a_{n-i-1}\}$

Terminada la inducción podemos darnos cuenta que esto resuelve ambos incisos, en el a) nos quedaría.

$1+(1+2\times (0,5\pm 0,5))\times (0,5\pm 0,5)$
NO HAY ANÁLISIS.

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