Torneo de las Ciudades - Marzo 2016 - NM P5

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
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Gianni De Rico

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Torneo de las Ciudades - Marzo 2016 - NM P5

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 06 Jul, 2019 5:06 pm

En el pizarrón hay escritos varios polinomios de grado $37$, cada uno con su coeficiente principal igual a $1$. Inicialmente todos los coeficientes son no negativos. Una movida consiste en elegir dos polinomios $f,g$ y reemplazarlos por los polinomios $f_1,g_1$ de forma que $f_1+g_1=f+g$ o $f_1g_1=fg$.
Demostrar que es imposible después de algunas movidas lograr que cada polinomio tenga $37$ raíces positivas distintas.
Queda Elegantemente Demostrado

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Joacoini

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Re: Torneo de las Ciudades - Marzo 2016 - NM P5

Mensaje sin leer por Joacoini » Dom 12 Ene, 2020 1:24 pm

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El enunciado es incorrecto ya que de la siguiente forma lo podemos lograr.

Remplazamos $f$ y $g$ por $f_1$ y $g_1$ tal que.

$f_1=(x-1)^2(x-2)^2...(x-37)^2$ y $g_1=f+g-f_1$.

Luego remplazamos $f_1$ y $g_1$ por $f_2$ y $g_2$ tal que.

$f_2=(x-1)(x-2)...(x-37)$ y $g_2=(f+g-f_1)(x-1)(x-2)...(x-37)$.

Y listo, no se si la intención del enunciado es que los polinomios tengan exactamente $37$ raíces al final o que.
NO HAY ANÁLISIS.

tuvie

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Re: Torneo de las Ciudades - Marzo 2016 - NM P5

Mensaje sin leer por tuvie » Dom 12 Ene, 2020 8:28 pm

Los polinomios $f_1$ y $g_1$ deben tener ambos grado $37$ y coeficiente principal $1$.

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