Nacional 2004 - P1 N2

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
JulianB
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Nacional 2004 - P1 N2

Mensaje sin leer por JulianB » Jue 27 Oct, 2011 9:23 pm

Hallar todos los enteros no negativos [math] y [math] tales que [math].

JulianB
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Re: Nacional 2004 - P1 N2

Mensaje sin leer por JulianB » Jue 27 Oct, 2011 9:25 pm

Necesito ayuda con este

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Caro - V3

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Re: Nacional 2004 - P1 N2

Mensaje sin leer por Caro - V3 » Jue 27 Oct, 2011 9:46 pm

Spoiler: mostrar
[math]
Si [math]:
  • [math]
    [math]
Si [math]:
  • [math] y [math] (porque como difieren en 2, si uno es par, el otro también).
    [math]
    [math]
    [math]
    [math]
    [math]
    Entre [math] y [math] hay un solo par.
    Si ese par es [math]:
    • [math]
      Entonces [math] o [math]. Si pasa lo segundo, [math] tiene que ser igual a 1, absurdo. Si pasa lo primero, [math].
    Si el par es [math]:
    • [math]
      Entonces [math] o [math]. Si pasa lo segundo, [math], absurdo. Si pasa lo primero, [math]
Por lo tanto, las únicas soluciones son:
[math]
[math]
[math]
Guía de [math]: sirve para escribir ecuaciones como [math]

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Marco V

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Re: Nacional 2004 - P1 N2

Mensaje sin leer por Marco V » Mié 25 Oct, 2017 7:33 pm

Spoiler: mostrar
Verificamos aparte cuando [math] y encontramos [math]

A partir de ahora [math]

Es claro que el lado izquierdo es impar, luego [math] lo es y por lo tanto [math] también
Sea [math], desarrollando y factorizando:

[math]

Dividiendo ambos lados por [math] (importante que debido al caso analizado, [math] será entero):

[math]

Como ambos factores del lado izquierdo y del lado derecho son coprimos, o bien [math] y [math], o [math] y [math]
Esto último arroja las soluciones restantes.

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