Selectivo Ibero 2019 - Problema 2

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Matías V5

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Selectivo Ibero 2019 - Problema 2

Mensaje sin leer por Matías V5 » Jue 08 Ago, 2019 6:32 pm

Sea $x_0, x_1, \ldots, x_{2019}$ una sucesión de enteros positivos tales que $x_0 \leq x_1 \leq \ldots \leq x_{2019}$. Se sabe que $x_0=1$ y que la subsucesión $x_1,x_2,\ldots,x_{2019}$ contiene exactamente $25$ números distintos. Demostrar que vale la desigualdad
$x_2(x_2-x_0) + x_3(x_3-x_1) + x_4(x_4-x_2) + \ldots + x_{2019}(x_{2019}-x_{2017}) \geq 623$.
"La geometría es el arte de hacer razonamientos correctos a partir de figuras incorrectas." -- Henri Poincaré

BrunZo

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Re: Selectivo Ibero 2019 - Problema 2

Mensaje sin leer por BrunZo » Jue 08 Ago, 2019 6:42 pm

Idea de solución:
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El caso de igualdad se puede conseguir con la sucesión $1,1,1,1,...,1,2,2,3,3,4,4,...,23,23,24,24,25$. Para demostrarlo, analizar qué pasa cuando se usa por primera vez un número nuevo, y que pasa si se usa por segunda vez o si aparece sólo una vez.

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Joacoini

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Re: Selectivo Ibero 2019 - Problema 2

Mensaje sin leer por Joacoini » Dom 11 Ago, 2019 12:11 am

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Llamamos $1\leq a_1<a_2<...<a_{25}$ a los números distintos de la subsucesión.
Notemos que como estamos en enteros $a_i\geq i$, $a_i-a_{i-1}\geq 1$ y $a_i-a_{i-2}\geq 2$

La sucesión se ve así $1,a_1,...,a_1,a_2,...,a_2,...,a_{24},a_{25},...,a_{25}$

Llamamos $A_i$ a la cantidad de veces que aparece $a_i$ en la sucesión, incluimos a $a_0=1$ en $A_1$ ya que cumple la propiedad $a_2-1\geq 1$ por lo que $A_1\geq 2$.

$S=x_2(x_2-x_0) + x_3(x_3-x_1) + x_4(x_4-x_2) + \ldots + x_{2019}(x_{2019}-x_{2017})$

Decimos que $x_i$ aparece $x_i-x_{i-2}$ veces en $S$, con la cantidad de veces que aparece $a_i$ en $S$ me refiero a la suma de la cantidad de veces que aparece todo $x_j=a_i$ en $S$.

Voy a demostrar que $S\geq 2a_2+2a_3+...+2a_{24}+a_{25}$ (1).

Vamos a concentrarnos en cuando termina una tirita de $a_{i-1}$ y empieza la de $a_i$, para $i\geq 2$.

Caso 1
$A_i=1$ y $A_{i-1}=1$, la sucesión se ve así, $...,a_{i-2},a_{i-1},a_i,...$, luego la cantidad de veces que aparece $a_i$ en $S$ es $\geq a_i-a_{i-2}\geq 2$

Caso 2
$A_i=1$ y $A_{i-1}\geq 2$, la sucesión se ve así, $...,a_{i-1},a_{i-1},a_i,...$, luego la cantidad de veces que aparece $a_i$ en $S$ es $\geq a_i-a_{i-1}\geq 1$

Caso 3
$A_i\geq 2$ y $A_{i-1}=1$, la sucesión se ve así, $...,a_{i-2},a_{i-1},a_i,a_i,...$, luego la cantidad de veces que aparece $a_i$ en $S$ es $\geq a_i-a_{i-2}+a_i-a_{i-1}\geq 3$

Caso 4
$A_i\geq 2$ y $A_{i-1}\geq 2$, la sucesión se ve así, $...,a_{i-1},a_{i-1},a_i,a_i,...$, luego la cantidad de veces que aparece $a_i$ en $S$ es $\geq 2(a_i-a_{i-1})\geq 2$

Si sucediesen siempre los casos 1, 3 ó 4 siempre para todo $1<i<25$ ya tendríamos demostrado (1).

Supongamos que hay un $1<i<25$ en el cual sucede el caso 2, $A_i=1$ por lo que para $i+1$ pueden suceder los casos 1 ó 3, si sucediese el 3 entonces se compensa que $a_i$ aparece una sola vez con que $a_{i+1}$ aparece al menos tres, si sucediese el caso 1 entonces $A_{i+1}=1$ y hacemos el mismo razonamiento para $i+2$, seguimos así hasta que haya algún $j>i$ en el cual sucede el caso 3 y se compensa o hasta que lleguemos a $25$ y aunque suceda el caso 1 ó el 3 $a_{25}$ aparece al menos dos veces y compensa que $a_i$ aparece solo una vez por lo que queda demostrado (1).

$S\geq 2a_2+2a_3+...+2a_{24}+a_{25}\geq 2\times 2+2\times 3+...+2\times 24+25=\frac{24\times 25}{2}-1+\frac{25\times 26}{2}-1=\frac{25\times 50}{2}-2=25^2-2=625-2=623$
1  
NO HAY ANÁLISIS.

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ésta

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Re: Selectivo Ibero 2019 - Problema 2

Mensaje sin leer por ésta » Dom 11 Ago, 2019 7:55 pm

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$S=x_2(x_2−x_0)+x_3(x_3−x_1)+x_4(x_4−x_2)+…+x_{2019}(x_{2019}−x_{2017})$
Lo podemos escribir como
$S=x_2(x_1−x_0) + x_2(x_2-x_1)+x_3(x_2−x_1)+x_3(x_3-x_2)+x_4(x_3−x_2)+x_4(x_4−x_3) +\ldots + x_{2019}(x_{2018}−x_{2017})+x_{2019}(x_{2019}−x_{2018})$
Como la sucesión es creciente, ésta suma es por lo menos
$S_1=x_1(x_1−x_0) + 2x_2(x_2-x_1)+2x_3(x_3-x_2)+2x_4(x_4−x_3) +\ldots + 2x_{2018}(x_{2018}−x_{2017})+x_{2019}(x_{2019}−x_{2018})$
Ahora sean $i_1, i_2, i_3, \ldots , i_{25}$ los indices donde aparecen por primera vez cada uno de los $25$ números de la subsucesión $x_1, x_2, \ldots, x_{2019}$. Tirando todos los terminos que no tienen un $i_j$ con $j>1$ multiplicando, tenemos que $S_1$ es al menos
$S_2 = 2x_{i_2}(x_{i_2}-x_{i_2-1})+2x_{i_3}(x_{i_3}-x_{i_3-1})+ \ldots + 2x_{i_{24}}(x_{i_{24}}-x_{i_{24}-1})+x_{i_{25}}(x_{i_{25}}-x_{i_{25}-1})$
ya que los únicos téminos que pueden no tener un $2$ en el producto es el primero y el último pero $i_2 \geq 2$ (notar que $i_j \geq j$).

Es claro que $x_{i_j} \geq j$ y $x_{i_j} - x_{i_j-1} \geq 1$ (es la primera vez que aparece $x_{i_j}$ por definición). Por lo que $S_2$ (y por lo tanto $S$) es al menos
$2\times 2\times 1+2\times 3\times 1+\ldots + 2\times 24\times 1+25\times 1 = (24+2)\times (24-2+1)+25 = 623$.
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Nowhereman

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Re: Selectivo Ibero 2019 - Problema 2

Mensaje sin leer por Nowhereman » Sab 02 Nov, 2019 10:51 am

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Escribo la suma como: $$\sum_{k=0}^{2017} x_{k+2}(x_{k+2}-x_k) = \sum_{k=0}^{2017} x_{k+1}(x_{k+2}-x_k)+\sum_{k=0}^{2017} (x_{k+2}-x_{k+1})(x_{k+2}-x_k)$$

Luego la primera suma del segundo miembro es telescopica y :
$$\sum_{k=0}^{2017} x_{k+1}(x_{k+2}-x_k) = \sum_{k=0}^{2017} x_{k+2}x_{k+1}-x_{k+1}x_k = x_{2019}x_{2018}-x_{1}x_{0} = x_{2019}x_{2018}-x_{1}$$
Como la subsucesión $x_1, x_2,...,x_{2019}$ tiene exactamente 25 números distintos, el mínimo valor que puede tomar $x_{2019}x_{2018}-x_{1}$ es $25*24 - 1 = 599$.

Solo queda acotar la ultima suma. Dado a que $x_{k+1} \geq x_{k}$, se tiene que:
$$ x_{k+2}-x_{k} \geq x_{k+2}-x_{k+1} \Rightarrow \sum_{k=0}^{2017} (x_{k+2}-x_{k+1})(x_{k+2}-x_{k})\geq \sum_{k=0}^{2017}(x_{k+2}-x_{k})^2$$

Nuevamente como la subsucesión $x_1, x_2,...,x_{2019}$ tiene exactamente 25 números distintos, existen 24 términos de la ultima suma $x_{k+2}-x_{k} \neq 0$, es decir la sucesión da 24 "saltitos", de modo que la suma es por lo menos $24$, (podría ser mayor si los saltos son consecutivos, pero no va al caso). Finalmente: $$\sum_{k=0}^{2017} x_{k+2}(x_{k+2}-x_k) \geq 599 + 24 =623 $$
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