Selectivo Ibero 2019 - Problema 6

[Matías V5]

Se tiene un número positivo $S$ con la siguiente propiedad: si se toman varios números positivos, no necesariamente distintos, mayores que $0$ y menores o iguales que $1$, cuya suma total es $S$, se sabe que es posible separar los números en dos grupos, uno en el que la suma de los números es menor o igual que $1$ y el otro en el que la suma de los números es menor o igual que $5$.
Hallar el máximo valor posible de $S$.

[Matías V5]

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Es claro que $S > 6$ es imposible, ya que si se puede hacer la división en dos grupos como dice el enunciado la suma de todos los números será menor o igual que $1+5=6$.
Veamos que tampoco puede ser $\frac{11}{2} < S \leq 6$. Para ello, consideramos un conjunto de $11$ números iguales a $\frac{S}{11}$. Por el rango en el que estamos suponiendo que está $S$, estos números son todos mayores que $\frac{1}{2}$. Entonces, al hacer la división como dice el enunciado, el grupo que tiene suma menor o igual que $1$ debe contener un solo número. Pero en tal caso el otro grupo tiene suma total $\frac{10}{11}S > \frac{10}{11} \cdot \frac{11}{2} = 5$, contradicción. Luego si $\frac{11}{2} < S \leq 6$ no es cierta la propiedad del enunciado.
Por último, veamos que para $S = \frac{11}{2}$ sí se cumple la propiedad (y por lo tanto este es el máximo buscado). Si en nuestro conjunto de números hay algunos cuya suma está entre $\frac{1}{2}$ y $1$ (ambos inclusive), entonces formamos un grupo con esos números, y los restantes tendrán suma menor o igual que $5$, cumpliendo así el objetivo. Ahora vamos a demostrar que esto siempre ocurre. Si alguno de los números del conjunto está entre $\frac{1}{2}$ y $1$, formamos un conjunto con la propiedad deseada usando solamente ese número. Si no, quiere decir que todos los números del conjunto son menores que $\frac{1}{2}$. Ahora elegimos un número cualquiera y empezamos a agregar números al conjunto de a uno hasta que por primera vez la suma de los números elegidos supere $1$ (lo cual en algún momento ocurrirá, ya que la suma de todos los números es mayor que $1$). La suma de los números elegidos justo antes de ese paso es menor o igual que $1$, y no puede ser menor que $\frac{1}{2}$ ya que el último número que agregamos es menor que $\frac{1}{2}$, así que no alcanzaría para llegar al $1$. Entonces otra vez conseguimos un grupo de números cuya suma está entre $\frac{1}{2}$ y $1$, como queríamos.