Provincial 2019 - Nivel 2 - Problema 2

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Avatar de Usuario
Monazo

OFO - Medalla de Plata-OFO 2017 OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 FOFO Pascua 2019 - Mención-FOFO Pascua 2019 FOFO 9 años - Jurado-FOFO 9 años COFFEE - Jurado-COFFEE Matías Saucedo
OFO - Jurado-OFO 2020 FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Jurado-COFFEE Carolina González COFFEE - Jurado-COFFEE Ariel Zylber COFFEE - Jurado-COFFEE Iván Sadofschi
FOFO 10 años - Jurado-FOFO 10 años OFO - Jurado-OFO 2021 FOFO 11 años - Jurado-FOFO 11 años OFO - Jurado-OFO 2022 FOFO Pascua 2022 - Jurado-FOFO Pascua 2022
OFO - Jurado-OFO 2023 OFO - Jurado-OFO 2024
Mensajes: 381
Registrado: Dom 14 Sep, 2014 2:30 pm
Medallas: 17
Nivel: Exolímpico

Provincial 2019 - Nivel 2 - Problema 2

Mensaje sin leer por Monazo »

Hallar todos los tríos $(a,b,c)$ de números enteros positivos tales que$$a\leq b\leq c\quad \text{y}\quad \left (1+\frac{1}{a}\right )\left (1+\frac{1}{b}\right )\left (1+\frac{1}{c}\right )=2.$$
Soy una Estufa en Piloto
:shock:
Avatar de Usuario
Turko Arias

Colaborador-Varias OFO - Medalla de Plata-OFO 2016 OFO - Medalla de Oro-OFO 2019 FOFO Pascua 2019 - Medalla-FOFO Pascua 2019 COFFEE - Jurado-COFFEE Matías Saucedo
OFO - Jurado-OFO 2020 FOFO Pascua 2020 - Jurado-FOFO Pascua 2020 COFFEE - Jurado-COFFEE Carolina González COFFEE - Jurado-COFFEE Ariel Zylber COFFEE - Jurado-COFFEE Iván Sadofschi
FOFO 10 años - Jurado-FOFO 10 años OFO - Jurado-OFO 2021 FOFO 11 años - Jurado-FOFO 11 años OFO - Jurado-OFO 2022 FOFO Pascua 2022 - Jurado-FOFO Pascua 2022
FOFO 12 años - Jurado-FOFO 12 años OFO - Jurado-OFO 2023
Mensajes: 591
Registrado: Lun 28 Nov, 2011 11:39 am
Medallas: 17
Nivel: Ñandú
Ubicación: La Plata, Provincia de Buenos Aires

Re: Provincial 2019 - Nivel 2 - Problema 2

Mensaje sin leer por Turko Arias »

Fundamentalista del Aire Acondicionado

Y todo el orgullo de ser bien bilardista
Avatar de Usuario
Elsa Muray

OFO - Medalla de Bronce-OFO 2018
Mensajes: 23
Registrado: Vie 26 Ene, 2018 3:10 pm
Medallas: 1
Nivel: 1
Ubicación: La Plata

Re: Provincial 2019 - Nivel 2 - Problema 2

Mensaje sin leer por Elsa Muray »

Turko Arias escribió: Vie 30 Ago, 2019 12:28 am Paso a dejar esto por acá :D :D :D
No vale copiarse, así cualquiera.
Avatar de Usuario
drynshock

FOFO 13 años - Mención-FOFO 13 años OFO - Medalla de Bronce-OFO 2024
Mensajes: 486
Registrado: Sab 21 May, 2022 12:41 pm
Medallas: 2
Nivel: 3
Contactar:

Re: Provincial 2019 - Nivel 2 - Problema 2

Mensaje sin leer por drynshock »

Spoiler: mostrar
$$1 \leq a \leq b \leq c \Rightarrow \frac{1}{a} \geq \frac{1}{b} \geq \frac{1}{c}$$
$$\therefore$$

$$\bigg(1+\frac{1}{a} \bigg )\bigg(1 + \frac{1}{b} \bigg )\bigg(1 + \frac{1}{c} \bigg ) = 2$$
$$\bigg(1+\frac{1}{a} \bigg )\bigg(1 + \frac{1}{b} \bigg )\bigg(1 + \frac{1}{c} \bigg ) \leq \bigg(1+\frac{1}{a} \bigg )\bigg(1 + \frac{1}{a} \bigg )\bigg(1 + \frac{1}{a} \bigg )$$
$$2 \leq \bigg(1 + \frac{1}{a} \bigg)^3$$
$$a \leq \frac{1}{\sqrt[3]{2} - 1}$$
$$a \leq 3$$

$$a = 1$$
$$\bigg(1+\frac{1}{1} \bigg )\bigg(1 + \frac{1}{b} \bigg )\bigg(1 + \frac{1}{c} \bigg ) = 2$$
$$\bigg(1 + \frac{1}{b}\bigg)\bigg(1 + \frac{1}{c}\bigg) = 1$$
$$\bigg(1+\frac{1}{b}\bigg)^2 \leq 1$$
$$\frac{1}{b} \leq 0 \therefore a = 2, 3$$

$$a = 2$$
$$\bigg(1+\frac{1}{b}\bigg)\bigg(1+\frac{1}{c}\bigg) = \frac{4}{3}$$
$$bc - 3b - 3c - 3 = 0$$
$$bc - 3b - 3c + 9 = 12$$
$$(b-3)(c-3) = 12$$
$$b-3 = 1, 2, 3$$
$$c-3 = 12, 6, 4$$
$$(b, c) = \{(4, 15), (5, 9), (6, 7)\}$$

$$a = 3$$
$$\bigg(1 + \frac{1}{b}\bigg)\bigg(1+\frac{1}{c}\bigg) = \frac{3}{2}$$
$$bc - 2b - 2c - 2 = 0$$
$$bc - 2b - 2c + 4 = 6$$
$$(b-2)(c-2) = 6$$
$$b-2 = 1, 2$$
$$c-2 = 6, 3$$
$$(b,c) = \{(3, 8), (4, 5)\}$$


$$(a, b, c) = \{(2, 4, 15), (2, 5, 9), (2, 6, 7), (3, 3, 8), (3, 4, 5)\}$$

$\blacksquare$
@Bauti.md ig // Ridin' in a getaway car // $\zeta (s) =\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}$
Responder