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Monazo
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por Monazo »
Hallar todos los tríos $(a,b,c)$ de números enteros positivos tales que$$a\leq b\leq c\quad \text{y}\quad \left (1+\frac{1}{a}\right )\left (1+\frac{1}{b}\right )\left (1+\frac{1}{c}\right )=2.$$
Soy una Estufa en Piloto
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Turko Arias
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por Turko Arias »
Fundamentalista del Aire Acondicionado
Y todo el orgullo de ser bien bilardista
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Elsa Muray
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por Elsa Muray »
No vale copiarse, así cualquiera.
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drynshock
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por drynshock »
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$$1 \leq a \leq b \leq c \Rightarrow \frac{1}{a} \geq \frac{1}{b} \geq \frac{1}{c}$$
$$\therefore$$
$$\bigg(1+\frac{1}{a} \bigg )\bigg(1 + \frac{1}{b} \bigg )\bigg(1 + \frac{1}{c} \bigg ) = 2$$
$$\bigg(1+\frac{1}{a} \bigg )\bigg(1 + \frac{1}{b} \bigg )\bigg(1 + \frac{1}{c} \bigg ) \leq \bigg(1+\frac{1}{a} \bigg )\bigg(1 + \frac{1}{a} \bigg )\bigg(1 + \frac{1}{a} \bigg )$$
$$2 \leq \bigg(1 + \frac{1}{a} \bigg)^3$$
$$a \leq \frac{1}{\sqrt[3]{2} - 1}$$
$$a \leq 3$$
$$a = 1$$
$$\bigg(1+\frac{1}{1} \bigg )\bigg(1 + \frac{1}{b} \bigg )\bigg(1 + \frac{1}{c} \bigg ) = 2$$
$$\bigg(1 + \frac{1}{b}\bigg)\bigg(1 + \frac{1}{c}\bigg) = 1$$
$$\bigg(1+\frac{1}{b}\bigg)^2 \leq 1$$
$$\frac{1}{b} \leq 0 \therefore a = 2, 3$$
$$a = 2$$
$$\bigg(1+\frac{1}{b}\bigg)\bigg(1+\frac{1}{c}\bigg) = \frac{4}{3}$$
$$bc - 3b - 3c - 3 = 0$$
$$bc - 3b - 3c + 9 = 12$$
$$(b-3)(c-3) = 12$$
$$b-3 = 1, 2, 3$$
$$c-3 = 12, 6, 4$$
$$(b, c) = \{(4, 15), (5, 9), (6, 7)\}$$
$$a = 3$$
$$\bigg(1 + \frac{1}{b}\bigg)\bigg(1+\frac{1}{c}\bigg) = \frac{3}{2}$$
$$bc - 2b - 2c - 2 = 0$$
$$bc - 2b - 2c + 4 = 6$$
$$(b-2)(c-2) = 6$$
$$b-2 = 1, 2$$
$$c-2 = 6, 3$$
$$(b,c) = \{(3, 8), (4, 5)\}$$
$$(a, b, c) = \{(2, 4, 15), (2, 5, 9), (2, 6, 7), (3, 3, 8), (3, 4, 5)\}$$
$\blacksquare$
@Bauti.md ig // Ridin' in a getaway car // $\zeta (s) =\displaystyle\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}$