Nacional OMA 2011 - Nivel 3 - Problema 1

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.

Nacional OMA 2011 - Nivel 3 - Problema 1

UNREAD_POSTpor ésta » Sab 12 Nov, 2011 4:24 pm

Para $k=1,2,\ldots ,2011$ denotamos $S_k=\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}+\ldots + \frac{1}{2011}$.
Calcular la suma $S_1+S_1^2+S_2^2+\ldots + S_{2011}^2$.
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Re: Nacional OMA 2011 - Nivel 3 - Problema 1

UNREAD_POSTpor Vladislao » Dom 13 Nov, 2011 1:19 pm

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Definimos:

$\mathcal S_k = \displaystyle\sum_{l =k}^n\dfrac{1}{l} = \dfrac{1}{k}+\dfrac{1}{k+1}+...+\dfrac{1}{n}$

Vamos a probar que $\mathcal S_1 + \displaystyle\sum_{j=1}^n \mathcal S_j^2=2n$

Supongamos que es cierto para algún $n$.

Ahora, definimos:

$\mathcal{S}'_k = \displaystyle\sum_{l=k}^{n+1}\dfrac{1}{l} = \dfrac{1}{k}+\dfrac{1}{k+1}+...+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n+1}=\mathcal{S}_k + \dfrac{1}{n+1}$.

Además, definimos $\mathcal S'_{n+1} = \dfrac{1}{n+1}$.

Vamos a ver que $\mathcal{S}'_1 + \sum_{j=1}^{n+1} \mathcal{S}'_{j}^2=2(n+1)$

Notemos que:

$\mathcal{S}'_1 + \displaystyle\sum_{j=1}^{n+1} \mathcal{S}'_j^2=\frac{1}{n+1}+\mathcal{S}_1+\displaystyle\sum_{j=1}^{n}\left( \mathcal{S}_j+\dfrac{1}{n+1}\right)^2+(S'_{n+1})^2=$

$=\dfrac{1}{n+1}+\mathcal S_1+\displaystyle\sum_{j=1}^{n}\left( \mathcal S_j+\dfrac{1}{n+1}\right)^2+\dfrac{1}{(n+1)^2}=$

$=\dfrac{1}{n+1}+\mathcal S_1+\displaystyle\sum_{j=1}^{n} \mathcal S_j^2+\dfrac{2}{n+1}\displaystyle\sum_{j=1}^{n} S_j +\displaystyle\sum_{j=1}^{n} \dfrac{1}{(n+1)^2}+\dfrac{1}{(n+1)^2}=$

$=\dfrac{1}{n+1}+2n+\dfrac{2}{n+1}\displaystyle\sum_{j=1}^{n} S_j +\dfrac{1}{n+1}=$

$= 2n + \dfrac{2}{n+1}\cdot \left( \displaystyle\sum_{j=1}^{n} S_j + 1\right)=$

$= 2n + \dfrac{2}{n+1}\cdot \left( n + 1\right) = 2n+2 = 2(n+1)$

Ahora, como tomando $n=2$ nuestra hipótesis es cierta, mediante inducción queda probada para todos los naturales.

En particular, el enunciado nos pone el caso $n=2011$, por lo que la suma pedida es $2\cdot 2011 = 4022$.

NOTA: Es fácil ver que $\displaystyle\sum_{j=1}^{n} S_j=n$, por eso no hice todos los pasos en medio de la solución.
Sea $\theta = 1,3063778838...$ Para todo entero positivo $k$ se cumple que $\left\lfloor \theta^{3^k}\right\rfloor$ es un número primo.
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Re: Nacional OMA 2011 - Nivel 3 - Problema 1

UNREAD_POSTpor Damián Benitucci » Lun 03 Dic, 2012 3:02 pm

Hola. Estube pensando el problema. Lo encaré usando uno de los productos notables: polinomio al cuadrado.

Primero vamos a fijarnos en la suma $S_1^2+S_2^2+ ... + S_{2011}^2$, sin incluir $S_1$ (me pareció una buena forma de comenzar).

Ahora voy a utilizar uno de los productos notables, polinomio al cuadrado, que afirma que el resultado de elevar un polinomio al cuadrado es la suma de los cuadrados de cada uno de los términos induviduales más el doble de la suma de los productos de cada par posible de términos. Por ejemplo:

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2 + 2(ab+ac+bc)$

Aca hay un poco mas de información y un ejemplo grafico para entender por qué es así. http://es.wikipedia.org/wiki/Productos_notables.

Utilizando lo anterior se puede deducir lo siguiente:

$S_1^2 = 1^2+ \left(\frac{1}{2}\right)^2 + ...+ \left(\frac{1}^{2011}\right)^2 + 2 \sum_{i=1}^{2011} \left(\frac{1}{i}\frac{1}{i'}\right)=$

Representé como $\left(\frac{1}{i}\frac{1}{i'}\right)$ a todos los pares posibles de productos. Suiguiendo con este razonamiento:

$S_2^2= \left(\frac{1}{2}\right)^2 +  \left(\frac{1}{3}\right)^2 +...+  \left(\frac{1}{2011}\right)^2+ 2 \sum_{i=2}^{2011} \left(\frac{1}{i}\frac{1}{i'}\right)$

$S_3^2= \left(\frac{1}{3}\right)^2 +  \left(\frac{1}{4}\right)^2 +...+  \left(\frac{1}{2011}\right)^2+ 2 \sum_{i=3}^{2011} \left(\frac{1}{i}\frac{1}{i'}\right)$



Notamos que $1^2$ sólo aparece una vez, en $S_1$; $\left(\frac{1}{2}\right)^2= \frac{1}{2^2}$ aparece dos veces, en $S_2$ y en $S_1$; $\frac{1}{3^2}$ aparece tres veces, en $S_1$, $S_2$ y $S_3$. En general, $\frac{1}{k^2}$ aparecerá $k$ veces: en $S_k$ y todos los anteriores.

Si sumamos todos los términos elevados al cuadrado de todos los $S_k^2$, tendremos que $\frac{1}{k^2}$ se debe sumarlo $k$ veces, por lo que puede representarse así:

$k \frac{1}{k^2} = \frac{k}{k^2} = \frac{1}{k}$

Entonces, al efectuar dicha suma obtendremos como resultado:

$1+\frac{1}{2} +\frac{1}{3} + ... + \frac{1}{2011}$

Que es, nada mas ni nada menos, que $S_1$

Entonces la suma $S_1^2+S_2^2+ ... + S_{2011}^2$, nos queda:

$1+\frac{1}{2} +\frac{1}{3} + ... + \frac{1}{2011} + 2 \left(\sum_{i=1}^{2011} \left(\frac{1}{i}\frac{1}{i'}\right) +...+\sum_{i=2010}^{2011} \left(\frac{1}{i}\frac{1}{i'}\right)\right)$

En la expresión ya junté a los dobles productos que corresponden a cada uno se los $S_k^2$, y saqué el $2$ como factor común.

Ahora analicemos los $\sum_{i=k}^{2011} \left(\frac{1}{i}\frac{1}{i'}\right)$.

Para $S_1^2$:

Si primero $i$ adopta el valor $1$ y $i'$ va adoptando todos los demás, obtendremos una primer sumatoria, expresada en el primer término de la expresión. Luego, $i$ toma el valor $2$, y $i'$ todos los demás, lo que está expresado en el segundo término de la expresión. Así, $i$ va tomando todos los valores hasta el $2010$, caso en el que $i'$ toma el valor de $2011$:

$\sum_{i=1}^{2011} \left(\frac{1}{i}\frac{1}{i'}\right) = \sum_{i'=2}^{2011} \frac{1}{i'} +  \sum_{i'=3}^{2011} \frac{1}{2i'} +...+  \sum_{i'=2011}^{2011} \frac{1}{2010i'}$


Para $S_2^2$:

Se utiliza el mismo razonamiento. El primer valor que adopta $i$ es $2$:

$\sum_{i=2}^{2011} \left(\frac{1}{i}\frac{1}{i'}\right) = \sum_{i'=3}^{2011} \frac{1}{2i'} +  \sum_{i'=4}^{2011} \frac{1}{3i'} +...+  \sum_{i'=2011}^{2011} \frac{1}{2010i'}$


Para $S_3^2$:

$\sum_{i=3}^{2011} \left(\frac{1}{i}\frac{1}{i'}\right) = \sum_{i'=4}^{2011} \frac{1}{3i'} +...+  \sum_{i'=2011}^{2011} \frac{1}{2010i'}$

Así con todas las $S_k$, hasta $2010$. La $S_{2011}^2$ no se icluye porque es igual a $\frac{1}{2011^2}$

Al sumar estas sumatorias vemos que $\sum_{i'=2}^{2011} \frac{1}{i'}$ aparece una vez, $\sum_{i'=3}^{2011} \frac{1}{2i'}$ aparece dos veces, y asi sucesivamente. La suma nos queda:

$\sum_{i'=2}^{2011} \frac{1}{i'}+2\sum_{i'=3}^{2011} \frac{1}{2i'}+3\sum_{i'=4}^{2011} \frac{1}{3i'}+...+2010\sum_{i'=2011}^{2011} \frac{1}{2010i'}$

Que es equivalente a:

$\sum_{i'=2}^{2011} \frac{1}{i'}+\sum_{i'=3}^{2011} \frac{2}{2i'}+\sum_{i'=4}^{2011} \frac{3}{3i'}+...+\sum_{i'=2011}^{2011} \frac{2010}{2010i'} =$

$=\sum_{i'=2}^{2011} \frac{1}{i'}+\sum_{i'=3}^{2011} \frac{1}{i'}+\sum_{i'=4}^{2011} \frac{1}{i'}+...+\sum_{i'=2011}^{2011} \frac{1}{i'}$


Tenemos que

$\sum_{i'=2}^{2011} \frac{1}{i'} = \frac{1}{2} +\frac{1}{3} +\frac{1}{4} +...+\frac{1}{2011}$

$\sum_{i'=3}^{2011} \frac{1}{i'} = \frac{1}{3} +\frac{1}{4} +...+\frac{1}{2011}$

$\sum_{i'=4}^{2011} \frac{1}{i'} = \frac{1}{4}+..+ \frac{1}{2011}$

Vemos que $\frac{1}{2}$ aparece una vez, $\frac{1}{3}$ dos veces, y asi siguiendo, la suma nos queda:

$\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+...+\frac{2010}{2011}$

Hasta ahora tenemos:

$S_1 + 2\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+...+\frac{2010}{2011}\right)$

Incluyando $S_1$ en la expresión, como pide el problema, queda:

$2S_1+2\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+...+\frac{2010}{2011}\right)$

$= 2\left(1+\frac{1}{2} +\frac{1}{3} + ...+ \frac{1}{2011} + \frac{1}{2} +\frac{2}{3} + ...+\frac{2010}{2011}\right)=$

$=4022$

Respuesta: La suma pedida es $4022$.
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Re: Nacional OMA 2011 - Nivel 3 - Problema 1

UNREAD_POSTpor Gianni De Rico » Lun 11 Sep, 2017 11:26 pm

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Por la Fórmula de Leibnitz:
$(x_1+x_2+\ldots +x_n)^2=(x_1^2+x_2^2+\ldots +x_n^2)+2(x_1x_2+x_1x_3+\ldots +x_1x_n+x_2x_3+x_2x_4+\ldots +x_2x_n+\ldots +x_{n-1}x_n)$
Es decir, cada número al cuadrado más $2$ veces todos los posibles pares de números.

Cada uno de los sumandos $\frac{1}{k}$ aparece exactamente $k$ veces en $S_1^2+S_2^2+\ldots + S_{2011}^2$, entonces $\frac{1}{k^2}$ va a aparecer exactamente $k$ veces, por lo tanto su suma será $k\times \frac{1}{k^2}=\frac{1}{k}$. Notemos que también $\frac{1}{k}\times \frac{1}{i}$ ($i<k$) aparecerá $i$ veces, luego su suma será $i\times \frac{1}{ik}=\frac{1}{k}$ en cada $S_n^2$. Pero cada uno de estos aparece $k-1$ veces en la sumatoria, ya que la vez que se multiplica por sí mismo la contamos en el cuadrado. Entonces nos queda:

$S_1^2+S_2^2+\ldots + S_{2011}^2=\sum_{k=1}^{2011}\frac{1}{k}+2\sum_{k=1}^{2011}\frac{k-1}{k}=\sum_{k=1}^{2011}\frac{1}{k}+2\sum_{k=1}^{2011}\frac{k}{k}-\frac{1}{k}=\sum_{k=1}^{2011}\frac{1}{k}+2\sum_{k=1}^{2011}1-\frac{1}{k}=\sum_{k=1}^{2011}\frac{1}{k}+2\left (2011-\sum_{k=1}^{2011}\frac{1}{k}\right )=\sum_{k=1}^{2011}\frac{1}{k}+4022-2\sum_{k=1}^{2011}\frac{1}{k}=4022-\sum_{k=1}^{2011}\frac{1}{k}$

Como $S_1=\sum_{k=1}^{2011}\frac{1}{k}$ entonces $S_1+S_1^2+S_2^2+\ldots + S_{2011}^2=\sum_{k=1}^{2011}\frac{1}{k}+4022-\sum_{k=1}^{2011}\frac{1}{k}=4022$

Finalmente:
$S_1+S_1^2+S_2^2+\ldots + S_{2011}^2=4022$
$e^{i\pi}+1=0$
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