Nacional 1998 N1 P4

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Joacoini

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Nacional 1998 N1 P4

Mensaje sin leer por Joacoini » Lun 30 Sep, 2019 11:25 pm

Cuatro autos, $A$, $B$, $C$, $D$, viajan a velocidades constantes por la misma ruta, pero $D$ viaja en dirección contraria a los otros tres. El auto $A$ pasa a los autos $B$ y $C$ a las $8:00$hs y $9:00$hs respectivamente, y se cruza con el auto $D$ a las $10:00$hs. El auto $D$ se cruza con los autos $B$ y $C$ a las $12:00$hs y $14:00$hs, respectivamente. Determinar a qué hora el auto $B$ pasó al auto $C$.
NO HAY ANÁLISIS.

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NPCPepe
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Re: Nacional 1998 N1 P4

Mensaje sin leer por NPCPepe » Sab 05 Oct, 2019 7:43 pm

$ACi$ es la distancia entre el auto A y el auto C a las 8:00 (cuando A pasa a B), lo mismo es con todas las distancias que terminan con i.
$Va$ es la velocidad del auto A.
$1h$ es 1 hora
$ACi=BCi=(Va-Vc)*1h$, ya que falta 1 hora para las 9:00 y desde el punto de vista de $A$, $C$ se esta moviendo a $Va-Vc$.
$ADi=BDi=(Va-Vd)*2h$ ($A$ se cruza con $D$ a las 10:00, y faltan 2 horas)
$CDi=(Vc-Vd)*6h$
Para facilitar la solución veamos el problema desde el punto de vista de $D$, entonces $Vd=0$
Para tener una unidad de velocidad definida, supongamos que $Va=1$
$ADi=BDi=(Va-Vd)*2h=2$
$BDi=(Vb-0)*4h$, entonces $Vb=0,5$

$ACi+CDi=2$
$(Va-Vc)*1h+(Vc-Vd)*6h=2$
$(1-Vc)*1h+(Vc-0)*6h=2$
$1-Vc*1h+Vc*6h=2$
$1+5h*Vc=2$
$5h*Vc=1$
$Vc=0,2$

$CDi=(0,2-0)*6h)=1,2$
$ACi=(1-0,2)*1h)=0,8$

$Vb-Vc=0,3$
El tiempo que tarda $B$ en pasar a $C$ es:
$BCi/(Vb-Vc)=0,8/0,3=8/3h=2 h + 2/3h= 2h 40m$
sumandole el tiempo inicial tenemos el resultado que es $10h 40m$

BrunZo

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Re: Nacional 1998 N1 P4

Mensaje sin leer por BrunZo » Mar 08 Oct, 2019 9:13 pm

¿Alguien dijo cuentas? Solución:
Spoiler: mostrar
Como corresponde, no vamos a plantear todas las ecuaciones, si no que vamos a hacer lo siguiente:
autos.png
El eje $x$ representa al tiempo y el eje $y$ la posición en la ruta. Cada recta corresponde a un auto.
La propiedad clave va a ser la siguiente:
Propiedad clave escribió:La coordenada $x$ del punto medio de un segmento $AB$ es el promedio de las coordenadas $x$ de $A$ y $B$.
Esto puede resultar medio obvio, pero es muy útil. Veremos como lo usamos:
La recta $a$ tiene tres puntos interesantes, que son $P_{ab}$, $P_{ac}$ y $P_{ad}$. Pero como estos están en los tiempos (coordenada $x$) $8$, $9$ y $10$, podemos deducir que $P_{ac}$ es punto medio de $P_{ab}$ y $P_{ad}$.
Un razonamiento similar coloca a $P_{bd}$ como punto medio de $P_{ad}$ y $P_{cd}$.
Ahora, nos movemos a lo crucial, esta configuración no es cualquier cosa, ya que podemos ver que $b$ y $c$ son medianas del triángulo $P_{ab}P_{ad}P_{cd}$. Y esto (¡sorpresa!) implica que nuestro deseado punto $P_{bc}$ es baricentro del triángulo $P_{ab}P_{ad}P_{cd}$.
Y acá esta la clave, en esta configuración, nosotros sabemos que $P_{ab}P_{bc}=2P_{bc}P_{bd}$ (la famosa propiedad de la mediana), esto es, si aplicamos una intuición similar a la del lema, podemos deducir que el tiempo de $P_{bc}$ parte al intervalo de tiempo $[8;12]$ (el intervalo entre $P_{ab}$ y $P_{bd}$) en proporción $2:1$, es decir, que este tiempo es $10+\frac{2}{3}$ o mejor dicho, las $10:40$... La respuesta...
EDIT: Simplemente es más fácil de leer (asumo yo).
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