Nacional 2019 N3 P2

[LuchoLP]

Sea $n\geq1$ un entero. Se tienen dos sucesiones, cada una de $n$ números reales positivos $a_1,a_2,...,a_n$ y $b_1,b_2,...,b_n$ tales que $a_1+a_2+...+a_n=1$ y $b_1+b_2+...+b_n=1$. Hallar el menor valor posible que puede tomar la suma
$$\frac{a_1^2}{a_1+b_1}+\frac{a_2^2}{a_2+b_2}+...+\frac{a_n^2}{a_n+b_n}$$

[Turko Arias]

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Consideremos la sucesión $c_i=a_i+b_i$. Tenemos que $a_1+...+a_n=1$ y que $c_1+...+c_n=2$.
Por la Desigualdad de Cauchy Fraccionario tenemos:
$\frac{a_1^2}{c_1}+...+\frac{a_n^2}{c_n} \geq \frac{(a_1+...+a_n)^2}{c_1+...+c_n}=\frac{1}{2}$.
Por último, es fácil chequear que si $a_i=\frac{1}{n}=b_i$ vale la igualdad, por lo que ya estamos

[lichafilloy]

con $AM - GM$:

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$(a_i + b_i) \times a_1 = a_i^2 + b_i \times a_1$. Luego, $\frac{a_1^2}{a_1 + b_1} + \frac{a_2^2}{a_2 + b_2} + ... + \frac{a_n^2}{a_n + b_n} = a_1 - \frac {a_1 \times b_1}{a_1 + b_1} + a_2 - \frac{a_2 \times b_2}{a_2 + b_2} + ... + a_n - \frac{a_n \times b_n}{a_n + b_n}$

$ = 1 - \frac {a_1 \times b_1}{a_1 + b_1} - \frac{a_2 \times b_2}{a_2 + b_2} - ... - \frac{a_n \times b_n}{a_n + b_n}$ $(*)$

Usando $AM - GM$, vemos que $\sqrt{a_i \times b_i} \leq \frac{a_i + b_i}{2}$ de dónde $a_i \times b_i \leq \frac{(a_i + b_i)^2}{4}$ y entonces $\frac{a_i \times b_i}{a_i + b_i} \leq \frac{a_i+b_1}{4}$.
Finalmente, $(*) \geq 1 - \frac{a_1 + b_1}{4} - \frac{a_2 + b_2}{4} - ... - \frac{a_n + b_n}{4} = 1 - \frac{a_1 + a_2 + ... a_n + b_1 + b_2 + ... b_n}{4} = 1 - \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Logramos $\frac{1}{2}$ tomando $ a_i = b_i = \frac{1}{n}$ para todo $i$ , luego $\frac{1}{2}$ es el mínimo y el problema está completo.

[Ivan]

temaiken

[BrunZo]

Solución:

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Por AM-HM con pesas, tenemos que:
$$\sum_{i=1}^{n}{\frac{a_i^2}{a_i+b_i}}=\frac{\sum_{i=1}^{n}{a_i\cdot \frac{a_i}{a_i+b_i}}}{\sum_{i=1}^{n}{a_i}}\geq \frac{\sum_{i=1}^{n}{a_i}}{\sum_{i=1}^{n}{a_i\cdot \frac{a_i+b_i}{a_i}}}=\frac{1}{\sum_{i=1}^{n}{a_i+b_i}}=\frac{1}{2}$$
Con igualdad si y sólo si $a_i=b_i$.

[Gianni De Rico]

Solución:

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Con igualdad si y sólo si $a_i=b_i=\frac{1}{n}$.

Ojo

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Esto no es cierto, fijate que para $n=3$ y $$a_1=b_1=\frac{1}{2},\quad a_2=b_2=\frac{1}{3},\quad a_3=b_3=\frac{1}{6}$$ se da la igualdad. Y en general, la igualdad vale si y sólo si las sucesiones son proporcionales (combinando eso con que ambas tienen la misma suma, se traduce en que vale si y sólo si $a_i=b_i$).