Olimpiada de Mayo 2015 P1 N2

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
bolonia
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Olimpiada de Mayo 2015 P1 N2

Mensaje sin leer por bolonia » Lun 24 Feb, 2020 1:16 pm

Ana y Celia venden varios objetos y obtienen por cada objeto tantos euros como objetos vendieron. El
dinero obtenido está constituido por algunos billetes de $10$ euros y menos de $10$ monedas de $1$ euro.
Deciden repartir el dinero del siguiente modo: Ana toma un billete de $10$ euros y después Celia, y así
sucesivamente hasta que Ana toma el último billete de $10$ euros, y Celia se lleva todas las monedas de $1$
euro. ¿Cuántos euros más que Celia se llevó Ana? Dar todas las posibilidades.

bolonia
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Re: Olimpiada de Mayo 2015 P1 N2

Mensaje sin leer por bolonia » Lun 24 Feb, 2020 1:21 pm

O no entendi el problema, o el problema es demasiado facil.
Spoiler: mostrar
No es dificil ver que la cantidad de billetes de $10$ euros es impar. De lo que sigue que Ana va a tener $10$ euros mas en billetes, no contando las monedas. La suma de las monedas puede ser $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ y estas sumas corresponden a Cecilia. Por lo que los posibles restos son: $10,9,8,7,5,6,5,4,3,2,1$

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NicoRicci

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Re: Olimpiada de Mayo 2015 P1 N2

Mensaje sin leer por NicoRicci » Lun 24 Feb, 2020 8:18 pm

bolonia escribió:
Lun 24 Feb, 2020 1:21 pm
O no entendi el problema, o el problema es demasiado facil.
Spoiler: mostrar
No es dificil ver que la cantidad de billetes de $10$ euros es impar. De lo que sigue que Ana va a tener $10$ euros mas en billetes, no contando las monedas. La suma de las monedas puede ser $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ y estas sumas corresponden a Cecilia. Por lo que los posibles restos son: $10,9,8,7,5,6,5,4,3,2,1$
No creo que haya tantas posibilidades...
Spoiler: mostrar
Nos sirve el hecho de que cada objeto se vende a tantos euros como objetos hay. O sea, si hay $n$ objetos, Ana y Ceci ganan $n . n$ euros, o sea que ganan una cantidad de euros que es cuadrado perfecto. Si tenemos esto en cuenta, podemos ver las unidades posibles de la cantidad de plata de Ana y Ceci

$Unidades$ $de$ $cant.$ $de$ $objetos$............. $u.$ $de$ $plata$ $ganada$ ..................$diferencia$ $entre$ $plata$
......... $1$ ................................................. ............... $1$...............................................$9$......................
......... $2$ ................................................. ............... $4$...............................................$6$......................
......... $3$ ................................................. ............... $9$...............................................$1$......................
......... $4$ ................................................. ............... $6$...............................................$4$......................
......... $5$ ................................................. ............... $5$...............................................$5$......................
......... $6$ ................................................. ............... $6$...............................................$4$......................
......... $7$ ................................................. ............... $9$...............................................$1$......................
......... $8$ ................................................. ............... $4$...............................................$6$......................
......... $9$ ................................................. ............... $1$...............................................$9$......................
......... $0$ ................................................. ............... $0$...............................................$10$......................
O sea que hay estas posibilidades: $1, 4, 5, 6, 9, 10$

No se si estoy pasando por alto algo pero bueno dejo eso ahí...
OWEEEEEEE

bolonia
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Re: Olimpiada de Mayo 2015 P1 N2

Mensaje sin leer por bolonia » Lun 24 Feb, 2020 10:47 pm

NicoRicci escribió:
Lun 24 Feb, 2020 8:18 pm
bolonia escribió:
Lun 24 Feb, 2020 1:21 pm
O no entendi el problema, o el problema es demasiado facil.
Spoiler: mostrar
No es dificil ver que la cantidad de billetes de $10$ euros es impar. De lo que sigue que Ana va a tener $10$ euros mas en billetes, no contando las monedas. La suma de las monedas puede ser $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ y estas sumas corresponden a Cecilia. Por lo que los posibles restos son: $10,9,8,7,5,6,5,4,3,2,1$
No creo que haya tantas posibilidades...
Spoiler: mostrar
Nos sirve el hecho de que cada objeto se vende a tantos euros como objetos hay. O sea, si hay $n$ objetos, Ana y Ceci ganan $n . n$ euros, o sea que ganan una cantidad de euros que es cuadrado perfecto. Si tenemos esto en cuenta, podemos ver las unidades posibles de la cantidad de plata de Ana y Ceci

$Unidades$ $de$ $cant.$ $de$ $objetos$............. $u.$ $de$ $plata$ $ganada$ ..................$diferencia$ $entre$ $plata$
......... $1$ ................................................. ............... $1$...............................................$9$......................
......... $2$ ................................................. ............... $4$...............................................$6$......................
......... $3$ ................................................. ............... $9$...............................................$1$......................
......... $4$ ................................................. ............... $6$...............................................$4$......................
......... $5$ ................................................. ............... $5$...............................................$5$......................
......... $6$ ................................................. ............... $6$...............................................$4$......................
......... $7$ ................................................. ............... $9$...............................................$1$......................
......... $8$ ................................................. ............... $4$...............................................$6$......................
......... $9$ ................................................. ............... $1$...............................................$9$......................
......... $0$ ................................................. ............... $0$...............................................$10$......................
O sea que hay estas posibilidades: $1, 4, 5, 6, 9, 10$

No se si estoy pasando por alto algo pero bueno dejo eso ahí...
Spoiler: mostrar
Como Ana empieza y termina tomando los billetes de $10$ euros, es claro que la cantidad de billetes es impar. Entonces no podemos considerar $5,7,8,9$ o como posibilidades de objetos vendidos, además no vendieron $1, 2, 3$ objetos porque en ese caso Ceci tendría más dinero que Ana, lo cual por las condiciones del problema no es posible. Por lo cual las.diferencias $0,1,2,3,5$ no pueden ser.
Por lo cual la única respuesta es $4$
Última edición por bolonia el Mar 25 Feb, 2020 3:45 pm, editado 1 vez en total.

BrunZo

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Re: Olimpiada de Mayo 2015 P1 N2

Mensaje sin leer por BrunZo » Lun 24 Feb, 2020 11:17 pm

Siempre hay que dar ejemplos...
Spoiler: mostrar
La diferencia puede ser $r$ si y sólo si después de que A se llevará el último billete de $10$ euros, C se lleva $10-r$ monedas. Es decir, mirando módulo $20$, ganaron $20-r$ euros con $r<10$. Ahora sólo hay que ver los residuos cuadráticos módulo $20$, que sólo son $0, 1, 4, 9, 16$. El único válido es $16$ con $r=4$, por lo que A ganó necesariamente $4$ euros más que C. (Esto puede ocurrir si venden $4$ objetos, o $14$, o $24$, etc.)

Laureano U

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Re: Olimpiada de Mayo 2015 P1 N2

Mensaje sin leer por Laureano U » Mié 29 Abr, 2020 8:49 pm

BrunZo escribió:
Lun 24 Feb, 2020 11:17 pm
Siempre hay que dar ejemplos...
Spoiler: mostrar
La diferencia puede ser $r$ si y sólo si después de que A se llevará el último billete de $10$ euros, C se lleva $10-r$ monedas. Es decir, mirando módulo $20$, ganaron $20-r$ euros con $r<10$. Ahora sólo hay que ver los residuos cuadráticos módulo $20$, que sólo son $0, 1, 4, 9, 16$. El único válido es $16$ con $r=4$, por lo que A ganó necesariamente $4$ euros más que C. (Esto puede ocurrir si venden $4$ objetos, o $14$, o $24$, etc.)
También puede ser con $r=6$
Yo lo pensé así (con algo de ayuda ;) :D ):
Spoiler: mostrar
Como sé que cada objeto fue vendido por la cantidad en euros de objetos vendidos, si hay $x$ objetos, hay $x^2$ euros. Ya que cada objeto sale la cant de objetos vendidos, por lo que, $obj.\times £prod. = £ total$ , como $ £prod $ es igual a la cant. de obj, por eso euros es igual a objetos al cuadrado. Por lo que dice el enunciado, sé que Ana se queda con el último billete, por lo que, el dígito en las decenas, es IMPAR. Entonces, en las primeras 10 potencias, vemos: $1² = 1$, $2² = 4$, $3² = 9$, $4² = 16$, $5² = 25$, $6² = 36$, $7² = 49$, $8² = 64$, $9² = 81$, $10² = 100$. Vemos, que las únicas potencias con un IMPAR en el dígito de las decenas, son $4$ y $6$, ambos terminan en 6. Puedo pensar que un número mayor a $10$ es $10\times k + r$, siendo $r$ el resto de esto número en la división por $10$, y siendo $k$ el número por el que debo multiplicar al 10 para lograr formar todos sus dígitos (menos el último). Veo, que como dije que los euros son el cuadrado de los productos, si hago $(10\times k + r)^2$, por distributiva, sería igual a $100k^2 + 20 kr + r^2$, así que, el primer término, al ser por $100$, no va a afectar el dígito de la decena, el segundo, al ser por $20$, y ser par, quiere decir, que sin importar ni $k$, ni $r$, va a darnos un número par en el dígito de la decena, entonces, el único que me va a importar para lograr que el dígito de la decena se IMPAR, va a ser el último término, que es $r^2$, como $r$ es menor a $10$, y vimos que sólo $4$ y $6$ tenían un dígito de decena impar, y que ambos terminaban en 6, por lo que, como $10-6 = 4$, Ana se va a llevar $4$ euros más que Celia.
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Joacoini

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Re: Olimpiada de Mayo 2015 P1 N2

Mensaje sin leer por Joacoini » Jue 30 Abr, 2020 11:00 am

Laureano U escribió:
Mié 29 Abr, 2020 8:49 pm
BrunZo escribió:
Lun 24 Feb, 2020 11:17 pm
Siempre hay que dar ejemplos...
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La diferencia puede ser $r$ si y sólo si después de que A se llevará el último billete de $10$ euros, C se lleva $10-r$ monedas. Es decir, mirando módulo $20$, ganaron $20-r$ euros con $r<10$. Ahora sólo hay que ver los residuos cuadráticos módulo $20$, que sólo son $0, 1, 4, 9, 16$. El único válido es $16$ con $r=4$, por lo que A ganó necesariamente $4$ euros más que C. (Esto puede ocurrir si venden $4$ objetos, o $14$, o $24$, etc.)
También puede ser con $r=6$
Yo lo pensé así (con algo de ayuda ;) :D ):
Spoiler: mostrar
Como sé que cada objeto fue vendido por la cantidad en euros de objetos vendidos, si hay $x$ objetos, hay $x^2$ euros. Ya que cada objeto sale la cant de objetos vendidos, por lo que, $obj.\times £prod. = £ total$ , como $ £prod $ es igual a la cant. de obj, por eso euros es igual a objetos al cuadrado. Por lo que dice el enunciado, sé que Ana se queda con el último billete, por lo que, el dígito en las decenas, es IMPAR. Entonces, en las primeras 10 potencias, vemos: $1² = 1$, $2² = 4$, $3² = 9$, $4² = 16$, $5² = 25$, $6² = 36$, $7² = 49$, $8² = 64$, $9² = 81$, $10² = 100$. Vemos, que las únicas potencias con un IMPAR en el dígito de las decenas, son $4$ y $6$, ambos terminan en 6. Puedo pensar que un número mayor a $10$ es $10\times k + r$, siendo $r$ el resto de esto número en la división por $10$, y siendo $k$ el número por el que debo multiplicar al 10 para lograr formar todos sus dígitos (menos el último). Veo, que como dije que los euros son el cuadrado de los productos, si hago $(10\times k + r)^2$, por distributiva, sería igual a $100k^2 + 20 kr + r^2$, así que, el primer término, al ser por $100$, no va a afectar el dígito de la decena, el segundo, al ser por $20$, y ser par, quiere decir, que sin importar ni $k$, ni $r$, va a darnos un número par en el dígito de la decena, entonces, el único que me va a importar para lograr que el dígito de la decena se IMPAR, va a ser el último término, que es $r^2$, como $r$ es menor a $10$, y vimos que sólo $4$ y $6$ tenían un dígito de decena impar, y que ambos terminaban en 6, por lo que, como $10-6 = 4$, Ana se va a llevar $4$ euros más que Celia.
El enunciado no define $r$ y tú definición no es la misma que la de Brunzo así que tiene sentido que les hayan dado valores diferentes.
NO HAY ANÁLISIS.

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